Ciągi/Szkoła średnia - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Ciągi

Wykaż, że trójkąt, którego długości boków są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, miary kątów zaś trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest trójkątem równobocznym.

Liczby

n ( n+m ) ( m+n +3) lo g(3 ⋅2 ) , log 6⋅ 2 , lo g 12⋅ 2 , gdzie m ,n > 0 ,

są odpowiednio pierwszym, piątym i dziewiątym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wyznacz różnicę tego ciągu.

Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego wiedząc, że 3- a5 = 16 oraz q4 = − 23a6 .

Oblicz granicę (∘ -----√------- √ -) nl→im+∞ n+ 6 n + 1 − n .

Ukryj Podobne zadania

Oblicz granicę (∘ -----√------- √ -) nl→im+∞ n+ 5 n + 1 − n .

Oblicz granicę (∘ -----√------- √ -) nl→im+∞ n+ 3 n + 1 − n .

Oblicz granicę -------1------- nl→im+∞ √n-+-3√n-+1− √n .

Oblicz granicę (∘ -----√------- √ -) nl→im+∞ n+ 6 n + 1 − n .

Oblicz granicę (∘ ------√------- √ ---) nl→im+∞ 3n + 6 n + 1 − 3n .

Oblicz granicę --------1------- nl→im+∞ √ 3n+6√n-+1− √3n .

Oblicz granicę --------1------- nl→im+∞ √ 2n+6√n-+1− √2n .

Oblicz granicę (∘ ------√------- √ ---) nl→im+∞ 2n + 6 n + 1 − 2n .

Oblicz granicę -------1------- nl→im+∞ √n-+-5√n-+1− √n .

Oblicz sumę nieskończonego szeregu geometrycznego

√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √-2-− 2-+ 2√-2-− 4-+ 4√-2-− 8--+ -8-√2-− 16-+ 16√-2-− ... 3 3 3 3 9 9 3 27 27 3 81 81 3

Ukryj Podobne zadania

Oblicz sumę nieskończonego szeregu geometrycznego

√ -- √ -- √ -- √ -- √-3-− 3-+ 3√-3-− 9--+ -9√-3-− -27-+ 27-√-3-− ... 5 5 5 5 25 25 5 125 125 5

Suma ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an) , określonego dla n ≥ 1 , jest równa 55760. Ponadto a9 = 1115 20+ a1 . Oblicz iloraz tego ciągu.

Ania układa szklane kulki w ﬁgury pokazane na rysunku, na którym pokazane są pierwsze trzy ﬁgury.

Niech będzie różnicą liczby kulek w –ej i –tej ﬁgurze. Wypisz pierwszych 5 wyrazów ciągu .
Uzasadnij, że jest ciągiem arytmetycznym i oblicz ile potrzeba kulek do ułożenia 20 ﬁgury.

Dany jest okrąg o promieniu . Wewnątrz tego okręgu narysowano okrąg styczny wewnętrznie o średnicy , wewnątrz okręgu o 2 znów narysowano okrąg styczny wewnętrznie o średnicy 12r itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Wykaż, że suma długości okręgów o2017,o2018,...,o20160 jest mniejsza od długości okręgu o2016 .

Nieskończony ciąg geometryczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma wszystkich wyrazów ciągu (an ) o numerach nieparzystych jest równa 16, tj.

a + a + a + ...= 16. 1 3 5

Ponadto a + a = 5 ⋅a 1 3 2 2 . Wyznacz wzór ogólny na n–ty wyraz ciągu (an) .

Ciąg (bn) jest arytmetyczny i S60 − S39 = 10 5 , gdzie oznacza sumę początkowych wyrazów tego ciągu. Oblicz , wiedząc, że liczby 1, (b47 + b53)x , 5x + b 50 tworzą rosnący ciąg geometryczny.

Dany jest ciąg (an) określony wzorem n 2−n-- an = (− 1) ⋅ n2− 1 dla n ≥ 1 . Oblicz i .

Ciągi (an) i (bn) , gdzie n ≥ 1 są ciągami arytmetycznymi. Wykaż, że jeżeli ciąg (cn) zdeﬁniowany wzorem cn = an ⋅bn ( n ≥ 1 ) jest ciągiem arytmetycznym, to różnica jednego z ciągów (an) lub (bn) jest równa zeru.

Dla pewnych liczb x,y wartości wyrażeń x + y , 4x − y , 3x + 4y + 1 , 9x − 4y + 1 są początkowymi, kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz, ile początkowych wyrazów tego ciągu należy wziąć, aby ich suma była większa od 20100.

Iloraz ciągu geometrycznego (an) jest równy 1 3 , a suma jego pięciu początkowych wyrazów wynosi − 60 5 . Znajdź pierwszy wyraz ciągu (an ) oraz określ jego monotoniczność.

Dany jest ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a1 = − 20 i różnicy r = 4 . Wyznacz liczbę , dla której suma częściowa jest równa 780.

Długości trzech krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny o sumie 19. Objętość prostopadłościanu jest równa 216. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.

Dla jakich liczby x x log2 , log(2 − 2), log(2 + 10) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego? Oblicz różnicę tego ciągu.

Rozważmy ciąg trójkątów równobocznych takich, że długość boku pierwszego trójkąta jest równa , zaś bok każdego następnego jest równy połowie wysokości poprzedniego. Oblicz sumę wszystkich pól tak utworzonych trójkątów.

W ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla n ≥ 1 , wyraz szósty jest równy 3, a wyraz dziesiąty jest równy 15. Oblicz dla jakich wartości suma początkowych wyrazów ciągu (an ) jest mniejsza od 729.

Iloczyn piątego i jedenastego wyrazu ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich jest równy 4. Oblicz iloczyn piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Strona 13 z 25