Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych o długościach 2 i 4 wpisano prostokąt w ten sposób, że dwa jego boki leżą na przyprostokątnych trójkąta, a jeden z wierzchołków prostokąta leży na przeciwprostokątnej trójkąta. Prostokąt ten obraca się dookoła prostej, zawierającej dłuższą przyprostokątną trójkąta, tworząc walec. Oblicz, który z walców, otrzymanych w powyższy sposób, posiada największe pole powierzchni bocznej i oblicz jego objętość.

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Przez krawędź podstawy tego ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę, która jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem , i która przecina przeciwległą krawędź ostrosłupa (zobacz rysunek).

Oblicz stosunek pola powierzchni otrzymanego przekroju do pola powierzchni podstawy ostrosłupa jeżeli wiadomo, że .

W sześcian o krawędzi 4 wpisano kulę styczną do trzech ścian sześcianu oraz przechodzącą przez środek sześcianu. Oblicz promień tej kuli.

Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o bokach długości i . Oblicz długość wysokości graniastosłupa jeżeli oraz .

W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisujemy graniastosłupy prawidłowe czworokątne w ten sposób, że dolna podstawa graniastosłupa zawiera się podstawie ostrosłupa, a każdy z wierzchołków górnej podstawy należy do jednej z krawędzi bocznych ostrosłupa. Wiedząc, że każda z krawędzi ostrosłupa ma długość 6, oblicz jaka jest maksymalna możliwa powierzchnia boczna graniastosłupa.

Każda ściana graniastosłupa jest rombem o boku długości i kącie ostrym o mierze . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna przechodzi przez krawędź i przez środek krawędzi (zobacz rysunek).

Stosunek pola przekroju graniastosłupa płaszczyzną do pola jego podstawy jest równy . Oblicz objętość graniastosłupa , jeżeli jego krawędź boczna ma długość .