Równoboczny/Trójkąt/Planimetria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny

Na bokach AB ,BC ,CA trójkąta równobocznego ABC wybrano kolejno punkty D ,E ,F tak, że DE ⊥ AB , EF ⊥ BC i FD ⊥ AC .

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że trójkąt DEF jest trójkątem równobocznym o polu trzy razy mniejszym od pola trójkąta ABC .

Dany jest trójkąt równoboczny ABC , w którym |AB | = 1 . Na boku tego trójkąta wybrano taki punkt , że |∡BLA | = 105∘ . Odcinek przecina wysokość trójkąta ABC w punkcie (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz długość odcinka .

W trójkącie równobocznym ABC połączono środki wysokości otrzymując trójkąt KLM . Oblicz stosunek pól trójkątów ABC i KLM .

Wysokość trójkąta równobocznego jest o 3 cm krótsza od długości jego boku. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

W trójkącie równobocznym ABC obrano na boku taki punkt , że |BE | : |EC | = 1 : 2 . Oblicz tangens kąta ∡BAE .

Ukryj Podobne zadania

Na boku trójkąta równobocznego ABC wybrano punkt taki, że |AD | : |DB | = 2 : 3 . Oblicz tangens kąta ACD .

Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Na bokach i wybrano punkty – odpowiednio – i takie, że |BD | = |AE | = 13|AB | . Odcinki i przecinają się w punkcie (zobacz rysunek).

Wykaż, że pole trójkąta DBP jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta ABC .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Na bokach i wybrano punkty – odpowiednio – i takie, że |CD | = |AE | = 14|AB | . Odcinki i przecinają się w punkcie (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że pole trójkąta AP E jest 52 razy mniejsze od pola trójkąta ABC .

Trójkąty ABC i ADE są równoboczne (zobacz rysunek). Punkty A ,D i leżą na jednej prostej. Punkty K ,L i są środkami odcinków AB ,CE i . Wykaż, że |∡KLM | = 60∘ .

Oto w jaki sposób można uzasadnić, że suma odległości dowolnego punktu wewnątrz trójkąta równobocznego od boków tego trójkąta jest stała, tzn. nie zależy od wyboru tego punktu.

Łączymy punkt z wierzchołkami trójkąta i zapisujemy równość pól
$PABC = PABP + PBCP + PCAP .$
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta
$1 1 1 1 1 -ah = -ah 1 + -ah2 + --ah3 = --a(h1 + h2 + h3). 2 2 2 2 2$
Wnioskujemy, że , a więc suma ta nie zależy od wyboru punktu .

Postępując w analogiczny sposób wykaż, że suma odległości dowolnego punktu wewnątrz czworościanu foremnego od jego ścian jest stała, to znaczy nie zależy od wyboru punktu .

Ze środka ciężkości trójkąta równobocznego o boku , wykreślono okrąg o promieniu . Oblicz pole części koła nie należącego do trójkąta.

Na trójkącie równobocznym opisano drugi trójkąt równoboczny tak, że wierzchołki pierwszego trójkąta leżą na bokach drugiego. Boki obydwu trójkątów tworzą kąty 30∘ . Jakim procentem pola małego trójkąta jest pole dużego trójkąta?

Oblicz długość boku kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku .

Okrąg wpisany w trójkąt równoboczny ABC jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie równobocznym DEF . O ile procent pole trójkąta DEF jest mniejsze od pola trójkąta ABC ?

W trójkąt równoboczny ABC wpisano trójkąt DEF (patrz rysunek), tak że |AD | = |BE | = |CF | . Udowodnij, że trójkąt DEF jest równoboczny.

Na boku trójkąta równobocznego ABC wybrano taki punkt , że pole trójkąta ABD jest równe √ -- 6 3 i jest dwa razy większe od pola trójkąta ADC (zobacz rysunek).

Oblicz długość odcinka .

Trójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A ,C i leżą na jednej prostej. Punkty K ,L i są środkami odcinków AC ,CE i (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty K ,L i są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Ukryj Podobne zadania

Trójkąty ABC ,BDE i DF G są równoboczne oraz |AB | = |DF | . Punkty A ,B ,D ,F leżą na jednej prostej. Punkty K,L i są środkami odcinków EC ,BD i . Wykaż, że punkty K ,L i są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Niech będzie trójkątem równobocznym o boku długości . Konstruujemy kolejno trójkąty równoboczne T2,T3,T 4... takie, że bok kolejnego trójkąta jest równy wysokości poprzedniego trójkąta. Oblicz sumę pól trójkątów T ,T ,...,T 1 2 6 .

Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 16. Na boku obrano punkt dzielący ten bok w stosunku 3:5, licząc od punktu . Oblicz sinus kąta BAD .

Trójkąty równoboczne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku. Wykaż, że |AD | = |BE | .

Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe √ -- 9 3 . Prosta równoległa do boku przecina boki i – odpowiednio – w punktach i . Trójkąty ABC i AKL są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy 3 2 . Oblicz długość boku trójkąta AKL .

Ukryj Podobne zadania

Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe √ -- 1 2 3 . Prosta równoległa do boku przecina boki i – odpowiednio – w punktach i . Stosunek obwodów trójkątów ABC i AKL jest równy . Oblicz długość boku trójkąta AKL .

Z punktu należącego do boku trójkąta równobocznego ABC poprowadzono półprostą dzielącą trójkąt na dwie ﬁgury o równych polach. Oblicz tangens kąta jaki tworzy ta półprosta z odcinkiem , jeśli |AP | : |PB | = m i m ⁄= 1 .

Strona 1 z 3