Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 5 i 12 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.
/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny
Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 8 i 15 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.
Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek to trójkąt ten jest prostokątny.
Trójkąt prostokątny ma boki długości 3, 4, 5. Oblicz promień okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i prostych będących przedłużeniami przyprostokątnych.
Punkt przyprostokątnej
trójkąta prostokątnego
zrzutowano na przeciwprostokątną
otrzymując punkt
. Wykaż, że
.
Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości i
, a jego przeciwprostokątna ma długość
. Wykaż, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość
.
Oblicz jaka może być najmniejsza możliwa długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o polu .
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny o bokach długości
jest styczny do boków
i
w punktach
i
. Proste
i
przecinają się punkcie
. Oblicz pole trójkąta
.
Na przyprostokątnych i
trójkąta prostokątnego
zbudowano, na zewnątrz trójkąta, kwadraty
i
. Odcinek
przecina przyprostokątną
w punkcie
, a odcinek
przecina przyprostokątną
w punkcie
(zobacz rysunek). Udowodnij, że
.
Na przyprostokątnych i
trójkąta prostokątnego równoramiennego
zaznaczono odpowiednio punkty
i
tak, że
. Odcinki
i
przecinają się w punkcie
. Oblicz
.
Przez środek przyprostokątnej
trójkąta prostokątnego
poprowadzono prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej
. Prosta ta przecina proste
i
odpowiednio w punktach
i
. Wykaż, że
.
Przez środek przyprostokątnej
trójkąta prostokątnego
poprowadzono prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej
. Prosta ta przecina proste
i
odpowiednio w punktach
i
. Wykaż, że skala podobieństwa trójkątów
i
jest równa
.
W trójkącie prostokątnym o kącie prostym w wierzchołku
obrano taki punkt
, że pola trójkątów
,
i
są równe. Oblicz długość odcinka
, wiedząc, że
.
Na zewnątrz równoramiennego trójkąta prostokątnego zbudowano kwadraty – jeden na przyprostokątnej, a drugi na przeciwprostokątnej. Wykaż, że przeciwprostokątna dzieli odcinek łączący środki kwadratów na dwie równe części.
Przez środek przyprostokątnej
trójkąta prostokątnego
poprowadzono prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej
. Prosta ta przecina proste
i
odpowiednio w punktach
i
. Wykaż, że
.
Środkowa trójkąta jest równa połowie boku, do którego została poprowadzona. Wykaż, że trójkąt ten jest prostokątny.
Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona do przeciwprostokątnej ma długość i jest pięć razy krótsza od obwodu tego trójkąta. Oblicz długości boków trójkąta.