Dowolny/Czworokąt/Planimetria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków i . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych i . Uzasadnij, że jeżeli odcinki i są prostopadłe, to |AD | = |BC | .

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że jeżeli odcinki łączące środki przeciwległych boków czworokąta są prostopadłe, to przekątne tego czworokąta mają równe długości.

Wierzchołki rombu EF GH leżą na bokach trójkąta ABC , przy czym boki i F G są równoległe do środkowej trójkąta ABC (zobacz rysunek).

Oblicz długość boku rombu EF GH jeżeli |AB | = 1 6 i |CD | = 6 .

Na czworokącie wypukłym ABCD można opisać okrąg. Wiadomo, że √ -- √ -- |AB | = |BC |, |AD | = 2 3, |DC | = 3− 3 oraz przekątna √ -- |AC | = 3 2 . Oblicz pole tego czworokąta.

W okrąg o promieniu 7 wpisano czworokąt ABCD . Oblicz obwód i pole tego czworokąta, wiedząc, że |AB | = |BC | , |∡ADC | = 120∘ i stosunek pola trójkąta ABD do pola trójkąta BCD wynosi 2:1.

Przekątne czworokąta ABCD są prostopadłe.

Wykaż, że sumy kwadratów przeciwległych boków tego czworokąta są równe.
Wykaż, że jeżeli długości jego boków są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to czworokąt ten jest rombem.

Wykaż, że jeżeli dwusieczne dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych czworokąta wypukłego są prostopadłe, to czworokąt ten jest trapezem.

W czworokącie wypukłym ABCD dane są: |AB | = 2 , √ -- |BC | = 3 , |CD | = 3 , |DA | = 4 i |∡DAB | = 60 ∘ . Oblicz pole tego czworokąta.

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg oraz |AB | = 2, |BC | = 3 , |CD | = 4, |DA | = 5 .

Oblicz .
Oblicz pole czworokąta .

W czworokącie wypukłym ABCD , długości boków AB ,BC ,AD ,DC są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wykaż, że dwusieczne kątów wewnętrznych tego czworokąta przecinają się w jednym punkcie.

Dany jest czworokąt wypukły ABCD , w którym |AD | = |AB | = |BC | = a , |∡BAD | = 60∘ i |∡ADC | = 135∘ . Oblicz pole czworokąta ABCD .

Boki i czworokąta ABCD wpisanego w okrąg są równe przekątnej . Kąt ∡BAD ma miarę 80∘ . Znajdź miary pozostałych kątów czworokąta ABCD .

Uzasadnij, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku.

Jeśli środki boków czworokąta wyznaczają prostokąt, czy można stwierdzić, że czworokąt jest rombem?
Jeśli środki boków czworokąta wyznaczają romb, czy można stwierdzić, że czworokąt jest prostokątem?
Jeśli środki boków czworokąta wyznaczają kwadrat, czy można stwierdzić, że czworokąt jest kwadratem?

Czworokąt ABCD , w którym |BC | = 4 i |CD | = 5 , jest opisany na okręgu. Przekątna tego czworokąta tworzy z bokiem kąt o mierze 60∘ , natomiast z bokiem – kąt ostry, którego sinus jest równy . Oblicz obwód czworokąta ABCD .

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu √ -- R = 7 2 . Kąt ADC tego czworokąta jest ostry i jego miara jest o 15 ∘ większa od miary kąta BAD . Iloczyn sinusów wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta ABCD jest równy 3 8 . Oblicz długości przekątnych i tego czworokąta.

Na czworokącie wypukłym ABCD , w którym |AB | = |BC | , √ -- |AD | = 2 3 , √ -- |DC | = 3 − 3 można opisać okrąg. Wiedząc, że przekątna ma długość √ -- 3 2 , oblicz pole tego czworokąta.

Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu 4. Kąty BAD i BCD są proste (zobacz rysunek). Przekątne i tego czworokąta przecinają się w punkcie tak, że |BE | = 3⋅|DE | oraz |BD | = 2⋅ |AE | .

ZINFO-FIGURE

Oblicz długości boków czworokąta ABCD .

Dwusieczne kątów BAD i BCD czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie , przy czym punkty i leżą po przeciwnych stronach prostej (zobacz rysunek).

Wykaż, że |∡ABC |− |∡ADC |+ 2 ⋅|∡AEC | = 3 60∘ .

Uzasadnij, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku. Jaka ﬁgurę otrzymamy, łącząc kolejno środki boków: a) rombu, b) prostokąta, c) kwadratu?

Ukryj Podobne zadania

Uzasadnij, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku.

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg oraz pola trójkątów ABC i ADC są równe. Wykaż, że

|AB |2 + |BC |2 + |CD |2 + |DA |2 = 2|AC |2.

W czworokąt ABCD , w którym √ -- |AD | = 5 3 i |CD | = 6 , można wpisać okrąg. Przekątna tworzy z bokiem czworokąta kąt o mierze 60 ∘ , natomiast z bokiem tworzy kąt, którego sinus jest równy . Wyznacz długości boków i oraz długość przekątnej tego czworokąta.

Ukryj Podobne zadania

Na okręgu jest opisany czworokąt ABCD . Bok tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku , a przekątna ma długość równą 6. Ponadto spełnione są następujące warunki:

√ --- cos(∡ADB ) = 7, |∡BCD | = 90∘, oraz |AB | > 15. 8

Oblicz długość boku tego czworokąta.

W czworokąt ABCD , w którym |AD | = 4 i |CD | = 6 , można wpisać okrąg. Przekątna tworzy z bokiem czworokąta kąt o mierze 45 ∘ , natomiast z bokiem tworzy kąt, którego sinus jest równy . Wyznacz długości boków i oraz długość przekątnej tego czworokąta.

Na okręgu jest opisany czworokąt ABCD . Bok tego czworokąta jest trzy razy krótszy od przekątnej , a bok ma długość 10. Ponadto spełnione są następujące warunki:

--- cos(∡ADB ) = 19-, |∡BCD | = 90 ∘, oraz |AB | > √ 1 5. 20

Oblicz długość boku tego czworokąta.

Przekątna czworokąta ABCD tworzy z bokiem kąt ∘ 60 , a z bokiem kąt taki, że sin β = 34 . Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC ma długość 5, a bok długość |AD | = 7 . Wiedząc, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg oblicz długości pozostałych boków czworokąta oraz długość przekątnej .

Strona 2 z 3