Dowolny/Czworokąt/Planimetria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny

Uzasadnij, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku. Jaka ﬁgurę otrzymamy, łącząc kolejno środki boków: a) rombu, b) prostokąta, c) kwadratu?

Ukryj Podobne zadania

Uzasadnij, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku.

Trapez równoramienny ABCD nie jest równoległobokiem. Przekątna tego trapezu tworzy z podstawą kąt o mierze 60∘ . Wykaż, że trapez ABCD nie może być opisany na okręgu.

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg oraz pola trójkątów ABC i ADC są równe. Wykaż, że

|AB |2 + |BC |2 + |CD |2 + |DA |2 = 2|AC |2.

W czworokąt ABCD , w którym √ -- |AD | = 5 3 i |CD | = 6 , można wpisać okrąg. Przekątna tworzy z bokiem czworokąta kąt o mierze 60 ∘ , natomiast z bokiem tworzy kąt, którego sinus jest równy . Wyznacz długości boków i oraz długość przekątnej tego czworokąta.

Ukryj Podobne zadania

Przekątna czworokąta ABCD tworzy z bokiem kąt ∘ 60 , a z bokiem kąt taki, że sin β = 34 . Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC ma długość 5, a bok długość |AD | = 7 . Wiedząc, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg oblicz długości pozostałych boków czworokąta oraz długość przekątnej .

Na okręgu jest opisany czworokąt ABCD . Bok tego czworokąta jest trzy razy krótszy od przekątnej , a bok ma długość 10. Ponadto spełnione są następujące warunki:

--- cos(∡ADB ) = 19-, |∡BCD | = 90 ∘, oraz |AB | > √ 1 5. 20

Oblicz długość boku tego czworokąta.

W czworokąt ABCD , w którym |AD | = 4 i |CD | = 6 , można wpisać okrąg. Przekątna tworzy z bokiem czworokąta kąt o mierze 45 ∘ , natomiast z bokiem tworzy kąt, którego sinus jest równy . Wyznacz długości boków i oraz długość przekątnej tego czworokąta.

Na okręgu jest opisany czworokąt ABCD . Bok tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku , a przekątna ma długość równą 6. Ponadto spełnione są następujące warunki:

√ --- cos(∡ADB ) = 7, |∡BCD | = 90∘, oraz |AB | > 15. 8

Oblicz długość boku tego czworokąta.

Na bokach AB ,BC ,CD i czworokąta ABCD wybrano punkty K ,L,M i takie, że

AK-- = BL- = CM---= DN-- = k,gdzie k ∈ (0,+ ∞ ). KB LC MD NA

Oblicz stosunek pola czworokąta KLMN do pola czworokąta ABCD .

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu √ -- 4 3 (patrz rysunek). Przekątna czworokąta ma długość 12. Iloczyn sinusów wszystkich kątów wewnętrznych czworokąta jest równy 136 . Wiedząc, że |∡A | < |∡C | < |∡D | , oblicz miary kątów czworokąta ABCD .

Ukryj Podobne zadania

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu √ -- R = 5 2 . Przekątna tego czworokąta ma długość 10. Kąty wewnętrzne BAD i ADC czworokąta ABCD są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy 3 8 . Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.

W czworokącie wypukłym ABCD kąty przy wierzchołkach i są proste (zobacz rysunek).

Oblicz sinus kąta przy wierzchołku jeżeli |AC | = 1,3|BD | .

Dwa przeciwległe boki czworokąta wpisanego w okrąg mają równe długości. Wykaż, że czworokąt ten jest trapezem.

Dany jest czworokąt wypukły ABCD . Przekątne oraz tego czworokąta przecinają się w punkcie . Wykaż, że jeżeli |AS|-= |BS|- |DS | |CS| , to na czworokącie ABCD można opisać okrąg.

Dany jest czworokąt wypukły ABCD , w którym: |AB | = |BC | , |∡DAB | = 45∘ , |∡ABC | = 150∘ , |∡BCD | = 60∘ . Wykaż, że trójkąt BCD jest równoboczny.

Na czworokącie ABCD można opisać okrąg. Długości boków tego czworokąta są równe |BC | = 12 , |CD | = 6 , |AD | = 1 0 , a kąt ABC ma miarę 60∘ . Oblicz długość promienia okręgu opisanego na czworokącie ABCD .

Oblicz pole czworokąta wypukłego ABCD , w którym kąty wewnętrzne mają odpowiednio miary: ∡A = 90 ∘ , ∡B = 75∘ , ∡C = 6 0∘ , ∡D = 1 35∘ , a boki i mają długość 3 cm. Sporządź rysunek pomocniczy.

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD dzielą go na cztery trójkąty. Wykaż, że jeżeli promienie okręgów opisanych na tych czterech trójkątach są równe, to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

W czworokącie ABCD o obwodzie 24 dane są ∘ |∡ABC | = 120 oraz √ -- |BD | = 4 3 . Wiedząc, że środek przekątnej jest środkiem symetrii tego czworokąta oblicz jego pole.

Przez każde dwa sąsiednie wierzchołki czworokąta ABCD wpisanego w okrąg poprowadzono okrąg (zobacz rysunek).

Wykaż, że punkty P ,Q,R ,S , w których przecinają się te okręgi, leżą na jednym okręgu.

Czworokąt ABCD , w którym |AD | = 18 i |CD | = 26 , jest opisany na okręgu. Kąt ABC tego czworokąta jest rozwarty, a promień okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równy 12,5. Obwód czworokąta ABCD jest równy 66. Oblicz długość przekątnej tego czworokąta.

Dany jest czworokąt ABCD , którego kolejne boki mają długości 4,5,7,8. Kat między najkrótszymi bokami ma miarę , taką że cos α = − 196 . Sprawdź czy na tym czworokącie można opisać okrąg.

Dany jest czworokąt ABCD . Niech będzie punktem przecięcia jego przekątnych. Udowodnij, że czworokąt ABCD można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy |AS|= |BS| |DS| |CS| .

Obwód czworokąta wypukłego ABCD jest równy 50 cm. Obwód trójkąta ABD jest równy 46 cm, a obwód trójkąta BCD jest równy 36 cm. Oblicz długość przekątnej .

Przedłużenia przeciwległych boków czworokąta wpisanego w okrąg tworzą kąty ostre o miarach 20 ∘ i 40∘ . Oblicz miary kątów czworokąta.

Strona 3 z 4