Dowolny/Czworokąt/Planimetria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Dowolny

Okrąg przecina boki czworokąta ABCD kolejno w punktach A 1,A 2,B1,B2,C 1,C2,D 1,D 2 (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli |A 1A2| = |B1B 2| = |C 1C2| = |D 1D 2| , to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

W czworokącie wypukłym ABCD (zobacz rysunek poniżej) dane są kąty: |∡ADC | = |∡ABC | = 90∘ oraz |∡DCB | = 135∘ . Wykaż, że √- |DB-|= -2- |AC | 2 .

Przekątne czworokąta ABCD są prostopadłe. Wykaż, że |AB |2 + |CD |2 = |BC |2 + |DA |2 .

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków i . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych i . Uzasadnij, że MQ ∥ PN .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków i . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych i . Uzasadnij, że czworokąt MQNP jest równoległobokiem.

Wszystkie wierzchołki czworokąta ABCD leżą na okręgu oraz ∡A = α . Oblicz miarę kąta .

W okrąg o promieniu 17√-2- 2 wpisano czworokąt ABCD tak, że ∘ |∡ABC | = 90 oraz |AD | : |CD | = 7 : 2 3 . Oblicz obwód czworokąta ABCD jeżeli jego pole jest równe 192.

Przeciwległe boki czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w punktach i (zobacz rysunek), przy czym odcinek jest zawarty w dwusiecznej kąta DEF , a odcinek jest zawarty w dwusiecznej kąta DF E . Wykaż, że |∡EDF | = 6 0∘ .

ZINFO-FIGURE

Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: P,Q ,R ,S (zobacz rysunek).

Wykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg.

Ukryj Podobne zadania

Z wierzchołków czworokąta ABCD poprowadzono półproste, które przecinają się w wierzchołkach czworokąta PQRS wpisanego w okrąg (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli półproste AP , BP i są dwusiecznymi odpowiednio kątów DAB , ABC i BCD , to półprosta jest dwusieczną kąta CDA .

Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB | = 2, |BC | = 3 , |CD | = 4, |DA | = 5 . Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej tego czworokąta.

Ukryj Podobne zadania

Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB | = 3, |BC | = 6 , |CD | = 5, |DA | = 4 . Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej tego czworokąta.

Wykaż, że jeżeli w czworokącie ABCD dwusieczne kątów przy wierzchołkach i przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach i w czterech różnych punktach, to punkty te leżą na pewnym okręgu.

W czworokącie wypukłym ABCD poprowadzono przekątną . Okręgi wpisane w trójkąty ABC i ACD są styczne zewnętrznie. Wykaż, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Przekątne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w punkcie , a punkt jest takim punktem przekątnej , że |∡DCS | = |∡BCE | (zobacz rysunek).

Wykaż, że |CD|⋅|CB| |CE | = --|CA|-- .

W czworokącie ABCD dane są długości boków: |AB | = 24,|CD | = 1 5,|AD | = 7 . Ponadto kąty DAB oraz BCD są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.

Udowodnij, że jeżeli środki boków dwóch czworokątów wypukłych pokrywają się, to pola tych czworokątów są równe.

W czworokącie ABCD spełniony jest warunek |∡ADB | = |∡ACB | . Wykaż, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg.

Dany jest czworokąt o kolejnych bokach długości 3,4,5 oraz kącie między bokami długości 3 i 4 takim, że cosα = − 111 . Wyznacz długość czwartego boku, jeśli wiadomo, że na czworokącie można opisać okrąg.

Czworokąt ABCD , w którym |BC | = 12 i |CD | = 1 3 , jest opisany na okręgu. Przekątna tego czworokąta tworzy z bokiem kąt, którego tangens jest równy 112019- . Tangens kąta CDA jest równy 152 . Oblicz długość odcinka .

W czworokącie wypukłym ABCD dane są długości jego boków i miara kąta . Wyznacz miary pozostałych kątów tego czworokąta.

Wykaż, że jeżeli każda przekątna czworokąta wypukłego dzieli go na trójkąty o równych polach to czworokąt ten jest równoległobokiem.

W trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku ma miarę ∘ 50 , a kąt wewnętrzny przy wierzchołku ma miarę 60 ∘ . Okrąg przechodzi przez punkt i przecina boki i trójkąta odpowiednio w punktach i . Okrąg o 2 przechodzi przez punkt , przecina okrąg o 1 w punkcie oraz w punkcie leżącym wewnątrz trójkąta ABC . Ponadto okrąg przecina bok trójkąta w punkcie .

Udowodnij, że na czworokącie CEF G można opisać okrąg.

Strona 1 z 4