Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 7, strona 4

/Konkursy

W trójkącie równoramiennym ABC długość dwusiecznej kąta przy wierzchołku jest równa długości podstawy . Ile jest równa miara kąta CDA ?
A) 90∘ B) 100∘ C) ∘ 10 8 D) ∘ 120 E) Nie da się tego rozstrzygnąć

Kwadrat o polu 2 125 cm podzielono na pięć części o równych polach. Cztery z nich to kwadraty, a piąta to sześciokąt w kształcie litery L. Jaka jest długość najkrótszego boku tego sześciokąta?

A) 1 cm B) 1,2 cm C) √ -- 2( 5 − 2) cm D) √ -- 3( 5− 1) cm E) √ -- 5( 5 − 2) cm

Dwa trójkąty równoboczne o obwodach po 18 cm nałożono na siebie tak, że odpowiednie pary ich boków są do siebie równoległe. Jaki jest obwód zacieniowanego sześciokąta?

A) 9 cm B) 12 cm C) 13 cm D) 14 cm E) 18 cm

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x ≥ 1 i y ≥ 1 prawdziwa jest nierówność

(x+ y)(x2 − xy + y2 + 3) ≥ 2(x 2 + xy + y2 + 1).

Ukryj Podobne zadania

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x ≥ 1 i y ≥ 1 prawdziwa jest nierówność

x (x2 − 2x + 3)+ y(y2 − 2y + 3) ≥ 2xy + 2.

Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba √ -- √ -- 3+ 2− 1 .

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają równość a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca to a = b = c .

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych , i , funkcja

f(x ) = (x− a)(x − b)+ (x− b)(x − c)+ (x− c)(x− a)

ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Środkowa trójkąta ABC jest równa bokowi . Wyznacz kąty trójkąta ABC wiedząc, że |AB | = 4 i √ -- |BC | = 2 3 .

Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu . Na przedłużeniu cięciwy poza punkt odłożono odcinek . Przez punkty i poprowadzono prostą. Prosta przecina dany okrąg w punktach i (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ASD jest trzy razy większa od miary kąta ACS , to |BC | = r .

Rysunek obok przedstawia trójkąt równoramienny ABC ( |AB | = |AC | ), w którym |∡BP C| = 120 ∘ i |∡ABP | = 50∘ . Jaka jest miara kąta PBC ?

A) 5 ∘ B) 10∘ C) 15 ∘ D) 20 ∘ E) 25∘

Wykaż, że wielomian 4 3 2 W (x) = x − 2x + 2x − 6x+ 9 nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Z siatki składającej się z 8 trójkątów równobocznych można skleić ośmiościan foremny, jak na rysunku obok. Aby powstał ośmiościan magiczny, trzeba zamienić litery A ,B,C ,D ,E na liczby 2,4,6,7,8 (każdą literę na inną liczbę) w ten sposób, by sumy liczb na czterech ścianach przy każdym wierzchołku były sobie równe. Ile wówczas będzie równe B + D ?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

Udowodnij, że jeżeli środki boków dwóch czworokątów wypukłych pokrywają się, to pola tych czworokątów są równe.

Na rysunku poniżej punkty B,C ,D dzielą odcinek na cztery równe części. Narysowane trzy łuki są półokręgami o średnicach odpowiednio , i . Jaki jest stosunek długości półokręgu do sumy długości półokręgów i ?

A) 1:2 B) 2:3 C) 2:1 D) 3:2 E) 1:1

Wykaż, że jeżeli liczba jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba również ma tę własność.

Uzasadnij, że równanie 3 x(x+ 1)(x + 2) = 20 06 nie ma pierwiastków całkowitych.

Dwóch korektorów, pracując razem, jest w stanie dokonać poprawek w tekście w czasie 8 godzin. Jeżeli każdy z nich wykonywałby tę pracę sam, to pierwszy, bardziej doświadczony korektor zakończyłby ją o 12 godzin wcześniej niż drugi. W ciągu ilu godzin każdy z korektorów wykonałby tę pracę samodzielnie?

Ukryj Podobne zadania

Pierwsza pompa napełnia zbiornik w czasie o 15 godzin krótszym niż druga pompa. Jeżeli obie pompy pracują jednocześnie, to zbiornik zostaje napełniony w czasie 10 godzin. Ile godzin potrzeba na napełnienie zbiornika przy pomocy każdej z pomp?

Basen można napełnić dwoma kranami w ciągu 6 godzin. Pierwszy kran napełnia basen w czasie o 5 godzin krótszym niż drugi. W ciągu ilu godzin, każdy kran oddzielnie napełni basen.

Basen można napełnić dwoma kranami w ciągu 3 godzin. Pierwszy kran napełnia basen w czasie o 8 godzin krótszym niż drugi. W ciągu ilu godzin, każdy kran oddzielnie napełni basen.

Basen można napełnić, otwierając zawór nr 1, a opróżnić, odkręcając zawór nr 2. Jeśli otworzony jest tylko jeden zawór, całkowite napełnienie basenu trwa o godzinę krócej niż jego opróżnienie. Gdy równocześnie odkręcono obydwa zawory, basen napełnił się w ciągu 12 godzin. W ciągu ilu godzin napełni się basen, jeżeli zawór nr 2 będzie zamknięty?

Ile dróg prowadzi od górnego do dolnego końca przeciwprostokątnej dużego trójkąta, jeśli wolno poruszać się po bokach małych trójkątów w sposób przedstawiony na rysunku

A) 16 B) 27 C) 64 D) 90 E) 111

Wszystkie potęgi liczby 3 oraz wszystkie te dodatnie liczby naturalne, które są skończonymi sumami różnych potęg liczby 3, ustawiamy w ciąg rosnący 1,3,4,9,10,12,13,…Ile jest równy setny wyraz tego ciągu?
A) 150 B) 981 C) 1234 D) 2401 E) 100 3

Starożytni Egipcjanie używali do wyznaczania kąta prostego linki z dwoma węzłami – złączone końce i i owe węzły po naprężeniu linki tworzyły trójkąt prostokątny. Na takiej lince długości 12m węzeł jest w odległości 3m od końca . W jakiej odległości od końca jest drugi węzeł, jeżeli po złączeniu końców otrzymujemy kąt prosty w węźle ?

A) 3m B) 4m C) 5m D) 6m E) Inna liczba

Strona 4 z 29