Konkursy - zadania z matematyki - Zadania.info, 7, strona 5

/Konkursy

W roku 2008 cyfra jedności jest czterokrotnością cyfry tysięcy. Jaka jest minimalna liczba lat, które muszą upłynąć, by taka sytuacja się powtórzyła?
A) 10 B) 20 C) 100 D) 2008 E) Inna odpowiedź

Wysokość rombu ABCD dzieli bok tego rombu tak, że 3 |AE | : |EB | = 2 (zobacz rysunek).

Oblicz wartość wyrażenia

( ) ( ) sin4 π-+ α- + sin4 π-+ β- , 8 4 8 4

gdzie i są dwoma sąsiednimi kątami wewnętrznymi rombu ABCD .

Uderzona silnie bila odbiła się od bandy stołu bilardowego pod kątem ∘ 45 (rysunek obok). Do której łuzy wpadnie?

A) A B) B C) C D) D E) Bila nie wpadnie do żadnej z tych łuz

Drewniany sześcian wymiaru 5 × 5 × 5 został zbudowany poprzez sklejenie ze sobą sześcianów jednostkowych. Kleofas sfotografował ten sześcian w taki sposób, aby na zdjęciu widać było największą możliwą liczbę sześcianów jednostkowych. Ile sześcianów jednostkowych było widocznych na zdjęciu wykonanym przez Kleofasa.
A) 75 B) 74 C) 60 D) 61 E) 62

Mam kwadrat o wymiarach 6 cm × 6 cm i trójkąt. Jeżeli położę kwadrat na trójkącie, to mogę pokryć co najwyżej 60% powierzchni trójkąta. Jeżeli zaś położę trójkąt na kwadracie, to mogę pokryć co najwyżej powierzchni kwadratu. Pole trójkąta jest równe
A) 4 2 22 5 cm B) 2 24 cm C) 2 36 cm D) 2 40 cm E) 60 cm 2

W czworokącie ABCD spełniony jest warunek |∡ADB | = |∡ACB | . Wykaż, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg.

Na powitanie Nowego Roku Bartek założył koszulkę z nadrukiem jak na poniższym obrazku i stanął przed lustrem na rękach, z nogami uniesionymi pionowo w górę.

Co zobaczył w lustrze jego kolega Mikołaj, który stał (oczywiście na nogach) za Bartkiem?

Pięć liczb całkowitych rozmieszczono na okręgu. Okazało się, że dla każdych dwóch sąsiadujących ze sobą liczb, ani ich suma, ani suma pozostałych trzech nie jest podzielna przez 3. Ile wśród tych pięciu liczb jest podzielnych przez 3?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) Nie można tego wyznaczyć

Punkt jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Prosta przechodząca przez punkty i przecina okrąg opisany na trójkącie ABC w punkcie . Wykaż, że trójkąt BDW jest równoramienny.

Czworokąt ABCD jest trapezem prostokątnym, w którym AB ∥ CD . Wykaż że

|AC |2 + |BD |2 = |AD |2 + |BC |2 + 2|AB |⋅|DC |.

Wykaż, że jeżeli liczby dodatnie i spełniają warunek

3 a2 + 2b--= 3b2, a

to spełniają też równość

2b-2 a + a = 3b.

Ile trójkątów równoramiennych o polu równym 1 ma bok długości 2?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 5 i 12 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.

Ukryj Podobne zadania

Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 8 i 15 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.

Rozwiąż układ równań { x+ xy + y = 13 2(x+ y)2 + x2y + xy2 + 30 = 0.

Kąt ma miarę o 25% mniejszą niż kąt i o 50% większą niż kąt . Miara kąta jest
A) o 25% większa niż
B) o 50% większa niż
C) o 75% większa niż
D) o 100% większa niż
E) o 125% większa niż

Niech a□b = ab + a + b dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b . Rozwiązaniem równania 3 □5 = 2□x jest liczba
A) 3 B) 6 C) 7 D) 10 E) 12

Oblicz jakie długości powinny mieć boki prostokąta o polu równym , aby jego przekątna miała najmniejszą możliwą długość. Oblicz długość tej przekątnej.

Państwo Kowalscy mają kilkoro dzieci. Średnia wieku rodziny Kowalskich wynosi 18 lat. Natomiast średnia wieku wszystkich członków rodziny bez ojca, który ma 38 lat, jest równa 14 lat. Ile dzieci jest w rodzinie Kowalskich?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x2y2 + 2x 2 + 2y 2 − 8xy + 4 > 0.

Ukryj Podobne zadania

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x4 − 8xy + 4y2 + 4 > 0.

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x 2y2 + 3x2 + 3y2 − 12xy + 9 > 0.

Arek, Bartek i Cyryl mają razem 30 piłeczek. Gdy Bartek dał 5 piłeczek Cyrylowi, Cyryl dał 4 piłeczki Arkowi, a Arek 2 Bartkowi, to okazało się, że chłopcy mają po tyle samo piłeczek. Ile piłeczek na początku miał Arek?
A) 8 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15

Strona 5 z 29