Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Konkursy

Wyszukiwanie zadań

Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M ,N są odpowiednio środkami boków AB i CD . Punkty P ,Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD . Uzasadnij, że jeżeli odcinki MN i PQ są prostopadłe, to |AD | = |BC | .

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że jeżeli odcinki łączące środki przeciwległych boków czworokąta są prostopadłe, to przekątne tego czworokąta mają równe długości.

Udowodnij, że różnica sześcianów dwóch kolejnych liczb całkowitych nie jest liczbą podzielną przez 5.

Punkt M przyprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC zrzutowano na przeciwprostokątną AB otrzymując punkt N . Wykaż, że |∡MAN | = |∡MCN | .

Dwusieczna kąta B trójkąta ABC przecina bok AC w punkcie S , a dwusieczna kąta C przecina bok AB w punkcie T . Dwusieczne przecinają się w punkcie O . Znajdź miarę kąta A , jeżeli wiadomo, że na czworokącie ATOS można opisać okrąg.

Wielomian W jest wielomianem stopnia 5 i spełnia warunki: W (3) = 1 oraz W (−3 ) = 2 . Wykaż, że nie wszystkie współczynniki wielomianu W są liczbami całkowitymi.

Liczby a,b,c są rozwiązaniami równania 3 x − 1005x − 2004 = 0 . Napisz równanie którego rozwiązaniami są liczby a− 1 ,b− 1 ,c− 1 .

Dany jest równoległobok ABCD . Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie L , a okrąg wpisany w trójkąt ABD ma środek S i jest styczny do boku AD w punkcie K .

PIC

Wykaż, że jeżeli odcinek SL jest równoległy do prostej AB , to |KD | = |SL| .

Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Udowodnij, że punkty styczności tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.

Która z liczb jest największa?
A) (1 ⋅2)⋅ (2007 ⋅2008)
B) (1+ 2)⋅(2 007⋅ 2008)
C) (1 ⋅2)⋅(2 007+ 2008)
D) (1 + 2) ⋅(2007 + 200 8)
E) (1+ 2)+ (2007 + 2008 )

Znajdź wszystkie liczby całkowite dodatnie n , dla których liczba 3 n + 3 jest podzielna przez n + 3 .

Prosta CD jest styczna do okręgu w punkcie C . Uzasadnij, że jeśli |BC | = |BD | , to |AC | = |CD | .

ZINFO-FIGURE

W trójkącie równoramiennym ABC , w którym |AC | = |BC | , poprowadzono dwusieczną AD kąta przy wierzchołku A (patrz rysunek), przy czym |AD | = |AB | . Jaka jest miara kąta ∡ACB ?

PIC

A) 2 2∘ B) 30∘ C) 36 ∘ D) 45 ∘ E) 60∘

Na płaszczyźnie zaznaczono punkty A = (6,7) , B = (7,6) , C = (− 6,− 7) , D = (7,− 7) i E = (7,− 6) . Który z poniższych odcinków jest równoległy do osi Ox ?
A) AD B) BE C) BC D) CD E) AB

Na bokach AB i BC trójkąta ostrokątnego ABC opisano, jako na średnicach, dwa okręgi. Gdzie leży punkt przecięcia się tych okręgów (różny od punktu B)?

Andrzej, Mietek i Zbyszek rzucają kolejno kostką do gry. Andrzej wygrywa, jeżeli wyrzuci 1,2 lub 3. Mietek wygrywa, jeżeli wyrzuci 4 lub 5. Zbyszek wygrywa, jeżeli wyrzuci 6. Najpierw kostką rzuca Andrzej, potem Mietek, potem Zbyszek, potem znowu Andrzej, znowu Mietek, itd. Gra się kończy, gdy któryś z nich wygra. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygra Zbyszek?
A) 16 B) 18 C) 111 D) -1 13 E) 0

Cztery miasta A ,B,C i D znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 300 km. Pewna firma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie najmniejsza. Jeden z węzłów ma ma być połączony z miastami A i D , a drugi węzeł z miastami B i C (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być zlokalizowane węzły tej sieci.

Przekątne trapezu przecinają się w punkcie S . Przez punkt S poprowadzono prostą równoległą do podstaw trapezu, która przecina ramiona trapezu w punktach E i F . Wykaż, że |ES | = |SF| .

Ukryj Podobne zadania

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przez punkt O przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków BC i AD . Prosta równoległa do boku BC przecina bok AB w punkcie B′ , a prosta równoległa do boku AD przecina bok AB w punkcie A′ . Wykaż, że ′ ′ |AA | = |BB | .

Piotrek kupił 3 rodzaje ciastek: duże, średnie i małe. Duże ciastko kosztuje 4 zł za sztukę, średnie po 2 zł, a małe po 1 zł. Piotrek kupił łącznie 10 ciastek za które zapłacił 16 zł. Ile kupił dużych ciastek?

W wyniku ankiety przeprowadzonej z udziałem 2006 uczestników stwierdzono, że 1500 spośród nich uczestniczyło w konkursie „Kangur Matematyczny”, a 1200 w konkursie języka angielskiego. Ilu uczestników ankiety brało udział w obydwu konkursach, jeżeli wiadomo, że 6 ankietowanych nie wzięło udziału w żadnym z konkursów?
A) 300 B) 500 C) 600 D) 700 E) 1000

Strona 9 z 29