Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij

Wyszukiwanie zadań

Udowodnij, że jeżeli O jest środkiem okręgu, na którym leżą punkty A ,B,C , to β = 90 ∘ + α .

PIC

Dany jest okrąg o środku w punkcie O . Prosta KL jest styczna do tego okręgu w punkcie L , a środek O tego okręgu leży na odcinku KM (zob. rysunek). Udowodnij, że kąt KML ma miarę 31∘ .

PIC

Okrąg dopisany do boku AB trójkąta ABC to okrąg, który jest jednocześnie styczny do tego boku, oraz do przedłużeń boków AC i BC .

PIC

Wykaż, że jeżeli M jest punktem styczności tego okręgu z przedłużeniem boku AC to długość odcinka CM jest równa połowie obwodu trójkąta ABC .

Wykaż, że stosunek pola kwadratu wpisanego w koło do pola tego koła jest mniejszy od 23 .

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że stosunek pola kwadratu opisanego na kole do pola tego koła jest mniejszy od 43 .

Na okręgu o promieniu r wybrano punkty M i N w ten sposób, że proste AM i AN są styczne do okręgu. Punkt B jest punktem wspólnym odcinka MN i prostej łączącej A ze środkiem S tego okręgu. Wykaż, że |SA |⋅|SB | = r2 .

PIC

Z półokręgów budujemy krzywą (patrz rysunek). Pierwszy półokrąg ma promień długości r,r > 0 , a promień każdego następnego półokręgu stanowi 23 promienia poprzedniego. Niech n oznacza liczbę półokręgów tworzących tę krzywą. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n długość krzywej jest mniejsza od 3πr .

PIC

Na okręgu o środku S wybrano punkty A ,B,C i D w ten sposób, że prosta AB zawiera punkt S , a proste AD i BC przecinają się w punkcie E . Punkt M jest punktem wspólnym prostych AC i BD . Wykaż, że proste EM i AB są prostopadłe.

PIC

Na okręgu wybrano takich pięć różnych punktów: A ,A 1,A 2,A 3,A 4 , że

|∡A 1AA 2| = |∡A 2AA 3| = |∡A 3AA 4| = 45∘.

Udowodnij, że punkty A 1,A 2,A 3,A 4 są wierzchołkami kwadratu.

Dany jest okrąg o1 . Kreślimy cięciwę AB nieprzechodzącą przez środek okręgu o1 , a następnie rysujemy okrąg o2 współśrodkowy z okręgiem o1 i styczny do cięciwy AB . Okręgi o1 i o2 ograniczają pierścień kołowy. Uzasadnij, że pole pierścienia kołowego nie zależy od długości promienia okręgu o1 (zależy tylko od długości cięciwy AB ).

W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość 10 i jest styczna do wewnętrznego okręgu (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie wyznaczających go okręgów.

Dany jest okrąg O . Przez punkt A poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – P oraz Q . Przez punkt B leżący na odcinku AP poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie D , która przecięła odcinek AQ w punkcie C (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |AQ | = 5 ⋅|BP | oraz |CD | = 2 ⋅|BD | , to trójkąt ABC jest równoramienny.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest okrąg O . Przez punkt A poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – P oraz Q . Przez punkt B leżący na odcinku AP poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie D , która przecięła odcinek AQ w punkcie C (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |AQ | = 6 ⋅|BP | oraz |CD | = 3 ⋅|BD | , to trójkąt ABC nie jest równoramienny.

Przez punkt styczności dwóch okręgów poprowadzono sieczną. Udowodnij, że wypukłe kąty środkowe oparte na łukach wyznaczonych przez tę sieczną na okręgach mają równe miary.

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie P . Poprowadzono prostą, styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B (A ⁄= B ). Wykaż, że kąt ∡AP B jest prosty.

Ukryj Podobne zadania

Dwa okręgi są zewnętrznie styczne w punkcie C oraz są styczne do prostej k w punktach A i B odpowiednio (zobacz rysunek).

PIC

Uzasadnij, że trójkąt ABC jest prostokątny.

Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a . Wykaż, że łuk okręgu opisanego na tym trójkącie zawarty między wierzchołkami B i C ma długość większą niż 120%a .

PIC

Ukryj Podobne zadania

Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a . Wykaż, że łuk okręgu wpisanego w ten trójkąt zawarty między dwoma kolejnymi punktami styczności tego okręgu z bokami trójkąta ma długość większą niż 60 %a .

ZINFO-FIGURE

W danym okręgu o środku O poprowadzono cięciwy MN i KL , które przecięły się w punkcie A .

ZINFO-FIGURE

  • Wykaż, że trójkąty MLA i KAN są podobne.

  • Wiedząc, że |MN | = 30 cm ,|MA | : |AN | = 3 : 2 oraz |KA | : |AL | = 3 : 8 , oblicz długość cięciwy KL .

Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy 3 + 2√ 2- .

PIC

Ukryj Podobne zadania

Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek obwodu większego z tych okręgów do obwodu mniejszego jest równy 3 + 2√ 2- .

PIC

Do dwóch okręgów przecinających się w punktach A i B poprowadzono wspólną styczną MN , przy czym punkt M należy do pierwszego, a punkt N do drugiego okręgu. Wykaż, że prosta AB dzieli odcinek MN na połowy.

Średnica AB i cięciwa CD okręgu o środku O i promieniu r przecinają się w punkcie E takim, że |DE | = r . Wykaż, że |∡AOC | = 3|∡AEC | .

PIC

Ukryj Podobne zadania

Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r . Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α , to miara kąta ASD jest równa 3α .

PIC

Strona 2 z 2