Udowodnij/Okrąg i koło - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij

Dany jest okrąg o środku w punkcie . Prosta jest styczna do tego okręgu w punkcie , a środek tego okręgu leży na odcinku (zob. rysunek). Udowodnij, że kąt KML ma miarę 31∘ .

Okrąg dopisany do boku trójkąta ABC to okrąg, który jest jednocześnie styczny do tego boku, oraz do przedłużeń boków i .

Wykaż, że jeżeli jest punktem styczności tego okręgu z przedłużeniem boku to długość odcinka jest równa połowie obwodu trójkąta ABC .

Wykaż, że stosunek pola kwadratu wpisanego w koło do pola tego koła jest mniejszy od .

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że stosunek pola kwadratu opisanego na kole do pola tego koła jest mniejszy od .

Na okręgu o promieniu wybrano punkty i w ten sposób, że proste i są styczne do okręgu. Punkt jest punktem wspólnym odcinka i prostej łączącej ze środkiem tego okręgu. Wykaż, że |SA |⋅|SB | = r2 .

Z półokręgów budujemy krzywą (patrz rysunek). Pierwszy półokrąg ma promień długości r,r > 0 , a promień każdego następnego półokręgu stanowi promienia poprzedniego. Niech oznacza liczbę półokręgów tworzących tę krzywą. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej długość krzywej jest mniejsza od 3πr .

Na okręgu o środku wybrano punkty A ,B,C i w ten sposób, że prosta zawiera punkt , a proste i przecinają się w punkcie . Punkt jest punktem wspólnym prostych i . Wykaż, że proste i są prostopadłe.

Na okręgu wybrano takich pięć różnych punktów: A ,A 1,A 2,A 3,A 4 , że

|∡A 1AA 2| = |∡A 2AA 3| = |∡A 3AA 4| = 45∘.

Udowodnij, że punkty A 1,A 2,A 3,A 4 są wierzchołkami kwadratu.

Dany jest okrąg . Kreślimy cięciwę nieprzechodzącą przez środek okręgu , a następnie rysujemy okrąg współśrodkowy z okręgiem i styczny do cięciwy . Okręgi i ograniczają pierścień kołowy. Uzasadnij, że pole pierścienia kołowego nie zależy od długości promienia okręgu (zależy tylko od długości cięciwy ).

W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość 10 i jest styczna do wewnętrznego okręgu (zobacz rysunek).

Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie wyznaczających go okręgów.

Dany jest okrąg . Przez punkt poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – oraz . Przez punkt leżący na odcinku poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie , która przecięła odcinek w punkcie (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |AQ | = 5 ⋅|BP | oraz |CD | = 2 ⋅|BD | , to trójkąt ABC jest równoramienny.

Przez punkt styczności dwóch okręgów poprowadzono sieczną. Udowodnij, że wypukłe kąty środkowe oparte na łukach wyznaczonych przez tę sieczną na okręgach mają równe miary.

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie . Poprowadzono prostą, styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach i ( A ⁄= B ). Wykaż, że kąt ∡AP B jest prosty.

Ukryj Podobne zadania

Dwa okręgi są zewnętrznie styczne w punkcie oraz są styczne do prostej w punktach i odpowiednio (zobacz rysunek).

Uzasadnij, że trójkąt ABC jest prostokątny.

Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości . Wykaż, że łuk okręgu opisanego na tym trójkącie zawarty między wierzchołkami i ma długość większą niż 120%a .

Ukryj Podobne zadania

Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości . Wykaż, że łuk okręgu wpisanego w ten trójkąt zawarty między dwoma kolejnymi punktami styczności tego okręgu z bokami trójkąta ma długość większą niż 60 %a .

ZINFO-FIGURE

W danym okręgu o środku poprowadzono cięciwy i , które przecięły się w punkcie .

Wykaż, że trójkąty i są podobne.
Wiedząc, że oraz , oblicz długość cięciwy .

Dwa okręgi o środkach i są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy 3 + 2√ 2- .

Ukryj Podobne zadania

Dwa okręgi o środkach i są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek obwodu większego z tych okręgów do obwodu mniejszego jest równy 3 + 2√ 2- .

Do dwóch okręgów przecinających się w punktach i poprowadzono wspólną styczną , przy czym punkt należy do pierwszego, a punkt do drugiego okręgu. Wykaż, że prosta dzieli odcinek na połowy.

Średnica i cięciwa okręgu o środku i promieniu przecinają się w punkcie takim, że |DE | = r . Wykaż, że |∡AOC | = 3|∡AEC | .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu . Na przedłużeniu cięciwy poza punkt odłożono odcinek równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty i poprowadzono prostą. Prosta przecina dany okrąg w punktach i (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa , to miara kąta ASD jest równa .

Strona 2 z 2