Udowodnij/Okrąg i koło - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij

Dane są trzy okręgi , i . Okręgi , są styczne zewnętrznie, jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu (patrz rysunek). Promienie okręgów i są odpowiednio równe i , a środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej. Uzasadnij, że długość odcinka jest równa √ ---- 4 r1r2 , gdzie odcinek jest cięciwą okręgu o 3 i zawiera się we wspólnej stycznej okręgów i .

Dany jest prostokąt ABCD . Okręgi o średnicach i przecinają się w punktach i .

Wykaż, że punkty B,P i leżą na jednej prostej.

Ukryj Podobne zadania

Punkty i są punktami wspólnymi dwóch okręgów, a odcinki i ich średnicami.

Wykaż, że punkt leży na prostej przechodzącej przez punkty i .

Dany jest równoległobok ABCD . Okręgi o średnicach i przecinają się w punktach i .

Wykaż, że punkty A,E i leżą na jednej prostej.

Dwa okręgi o środkach i są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek pola większego z tych okręgów do pola mniejszego jest równy 17 + 12 √ 2- .

Koło i kwadrat mają równe obwody. Wykaż, że pierwsza z tych ﬁgur ma większe pole.

Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu . Na przedłużeniu cięciwy poza punkt odłożono odcinek . Przez punkty i poprowadzono prostą. Prosta przecina dany okrąg w punktach i (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ASD jest trzy razy większa od miary kąta ACS , to |BC | = r .

Punkty P 1,P 2,P3,...,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt jest punktem przecięcia cięciw P 11P 22 i P1P16 .

Udowodnij, że |∡P 16AP 11| = 60∘ .

Ukryj Podobne zadania

Punkty P1,P 2,P3,...,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt jest punktem przecięcia cięciw P9P20 i P6P 13 .

Udowodnij, że trójkąt AP 20P13 jest równoramienny.

Punkty P1,P 2,P3,...,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt jest punktem przecięcia cięciw P5P21 i P1P 15 .

Udowodnij, że |∡P 15AP 21| = 75∘ .

Dwa okręgi przecinają się w punktach i . Przez punkt pierwszego okręgu prowadzimy proste i , przecinające drugi okrąg w punktach i . Udowodnij, że styczna w punkcie do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej .

Ukryj Podobne zadania

Środek okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC , o ramionach i , leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).

Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC .

Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Udowodnij, że punkty styczności tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.

Prosta jest styczna do okręgu w punkcie . Uzasadnij, że jeśli |BC | = |BD | , to |AC | = |CD | .

ZINFO-FIGURE

Dwa okręgi przecinają się w punktach i . Przez punkty i poprowadzono proste, które przecinają dane okręgi w punktach A,B ,C,D tak, jak pokazano to na poniższym rysunku. Wykaż, że AC ∥ BD .

Na okręgu o środku wybrano punkty A ,B,C ,D,E w ten sposób, że odcinek jest średnicą okręgu oraz |∡BCD | = |∡BEC | (zobacz rysunek).

Wykaż, że proste i są prostopadłe.

Dane są dwa kąty wpisane oparte na tym samym łuku. Wykaż, że dwusieczne tych kątów przetną się w punkcie należącym do okręgu.

W okręgu narysowano dwie średnice i . Udowodnij, że czworokąt ACBD jest prostokątem.

Na rysunku okręgi o środkach i są styczne zewnętrznie i jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o środku w punkcie . Wykaż, że jeśli |BC | = |AC | , to długość odcinka jest równa długości średnicy okręgu o środku w punkcie .

Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Uzasadnij, że środki tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, w który można wpisać okrąg.

Wierzchołki i trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu , a środek tego okręgu leży na boku trójkąta (zobacz rysunek). Prosta jest styczna do tego okręgu w punkcie , a ponadto √ -- |AC | = r 3 . Wykaż, że kąt ACB ma miarę 120∘ .

Ukryj Podobne zadania

Wierzchołki i trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu , a środek tego okręgu leży na boku trójkąta (zobacz rysunek). Prosta jest styczna do tego okręgu w punkcie , a ponadto |∡ACB | = 12 0∘ . Wykaż, że |AC | = r√ 3- .

Wierzchołki i trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu , a środek tego okręgu leży na boku trójkąta (zobacz rysunek). Prosta jest styczna do tego okręgu w punkcie , a ponadto |AC | = 2rco s20∘ . Wykaż, że kąt ABC ma miarę 50∘ .

Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku i średnicach odpowiednio i (punkty A ,B ,C,D i są współliniowe).

Punkt leży na wewnętrznym półokręgu, punkt leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O ,P i są współliniowe. Udowodnij, że |∡AP B |+ |∡CRD | = 1 80∘ .

Okręgi o środkach odpowiednio i są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku jest równy 2.

Uzasadnij, że promień okręgu o środku jest mniejszy od √ -- 2− 1 .

Ukryj Podobne zadania

Okręgi o środkach odpowiednio i są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku jest równy 1.