Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Dane są trzy okręgi o1 , o2 i o3 . Okręgi o1 , o2 są styczne zewnętrznie, jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o3 (patrz rysunek). Promienie okręgów o1 i o2 są odpowiednio równe r1 i r2 , a środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej. Uzasadnij, że długość odcinka EF jest równa  √ ---- 4 r1r2 , gdzie odcinek EF jest cięciwą okręgu o 3 i zawiera się we wspólnej stycznej okręgów o1 i o2 .


PIC


Dany jest prostokąt ABCD . Okręgi o średnicach AB i AD przecinają się w punktach A i P .


PIC


Wykaż, że punkty B,P i D leżą na jednej prostej.

*Ukryj

Dany jest równoległobok ABCD . Okręgi o średnicach AB i BC przecinają się w punktach B i E .


PIC


Wykaż, że punkty A,E i C leżą na jednej prostej.

Punkty A i B są punktami wspólnymi dwóch okręgów, a odcinki AD i AC ich średnicami.


PIC


Wykaż, że punkt B leży na prostej przechodzącej przez punkty C i D .

Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek pola większego z tych okręgów do pola mniejszego jest równy 17 + 12 √ 2- .


PIC


Koło i kwadrat mają równe obwody. Wykaż, że pierwsza z tych figur ma większe pole.

Punkty P 1,P 2,P3,...,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest punktem przecięcia cięciw P 11P 22 i P1P16 .


PIC


Udowodnij, że |∡P 16AP 11| = 60∘ .

*Ukryj

Punkty P1,P 2,P3,...,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest punktem przecięcia cięciw P5P21 i P1P 15 .


PIC


Udowodnij, że |∡P 15AP 21| = 75∘ .

Punkty P1,P 2,P3,...,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest punktem przecięcia cięciw P9P20 i P6P 13 .


PIC


Udowodnij, że trójkąt AP 20P13 jest równoramienny.

Dwa okręgi przecinają się w punktach M i N . Przez punkt A pierwszego okręgu prowadzimy proste AM i AN , przecinające drugi okrąg w punktach B i C . Udowodnij, że styczna w punkcie A do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej BC .

Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC , o ramionach AC i BC , leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC .

Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Udowodnij, że punkty styczności tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.

Prosta CD jest styczna do okręgu w punkcie C . Uzasadnij, że jeśli |BC | = |BD | , to |AC | = |CD | .


PIC


Dwa okręgi przecinają się w punktach K i L . Przez punkty K i L poprowadzono proste, które przecinają dane okręgi w punktach A,B ,C,D tak, jak pokazano to na poniższym rysunku. Wykaż, że AC ∥ BD .


PIC


Dane są dwa kąty wpisane oparte na tym samym łuku. Wykaż, że dwusieczne tych kątów przetną się w punkcie należącym do okręgu.

W okręgu narysowano dwie średnice AB i CD . Udowodnij, że czworokąt ACBD jest prostokątem.

Na rysunku okręgi o środkach B i C są styczne zewnętrznie i jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o środku w punkcie A . Wykaż, że jeśli |BC | = |AC | , to długość odcinka AB jest równa długości średnicy okręgu o środku w punkcie C .


PIC


Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Uzasadnij, że środki tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, w który można wpisać okrąg.

Wierzchołki A i C trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu r , a środek S tego okręgu leży na boku AB trójkąta (zobacz rysunek). Prosta BC jest styczna do tego okręgu w punkcie C , a ponadto  √ -- |AC | = r 3 . Wykaż, że kąt ACB ma miarę 120∘ .


PIC


Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku O i średnicach odpowiednio AB i CD (punkty A ,B ,C,D i O są współliniowe).


PIC


Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu, punkt R leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O ,P i R są współliniowe. Udowodnij, że |∡AP B |+ |∡CRD | = 1 80∘ .

Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2.


PIC


Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od √ -- 2− 1 .

*Ukryj

Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 1.


PIC


Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest większy niż  √ -- 2+ 2 2 .

Udowodnij, że jeżeli O jest środkiem okręgu, na którym leżą punkty A ,B,C , to β = 90 ∘ + α .


PIC


Dany jest okrąg o środku w punkcie O . Prosta KL jest styczna do tego okręgu w punkcie L , a środek O tego okręgu leży na odcinku KM (zob. rysunek). Udowodnij, że kąt KML ma miarę 31∘ .


PIC


Okrąg dopisany do boku AB trójkąta ABC to okrąg, który jest jednocześnie styczny do tego boku, oraz do przedłużeń boków AC i BC .


PIC


Wykaż, że jeżeli M jest punktem styczności tego okręgu z przedłużeniem boku AC to długość odcinka CM jest równa połowie obwodu trójkąta ABC .

Strona 1 z 2>