Geometria/Szkoła średnia - zadania z matematyki

Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie jest wpisany w okrąg o równaniu x2 + y2 = 25 . Punkty i leżą na prostej o równaniu y = x− 5 .

Oblicz współrzędne punktów: .
Oblicz kąty trójkąta .

W sześciokącie foremnym połączono środki sąsiednich boków otrzymując ponownie sześciokąt foremny. Oblicz stosunek pól: otrzymanego i wyjściowego sześciokąta.

Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Okrąg o średnicy przecina bok w punkcie .

Wykaż, że |CD | = |DB | .

Punkt jest punktem wspólnym przekątnych trapezu prostokątnego ABCD . Punkt jest punktem wspólnym przekątnej i wysokości opuszczonej na dłuższą podstawę . Wykaż, że |DM |2 = |MN |⋅|MB | .

Udowodnij, że trzy środkowe rozcinają trójkąt na sześć części o równych polach.

Odcinki i są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC , a punkt punktem ich przecięcia. Wykaż, że podobne są trójkąty:

i ;
i ;
i .

Odcinki i są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC , a punkt jest punktem ich przecięcia. Uzasadnij, że punkty H ,D ,C i leżą na jednym okręgu.

Dany jest zbiór wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 216. Oblicz długość krawędzi podstawy i wysokość tego z danych graniastosłupów, który ma największe pole powierzchni bocznej.

Prosta przecina okrąg o środku w punktach ( √ -- 1) A = 1 − 2,− 8 i ( ) √ -- 3 B = 1 + 2,− 8 . Punkt leży na prostej . Oblicz pole koła ograniczonego tym okręgiem.

Dany jest równoległobok ABCD , w którym |AB | = 12 , |AD | = 7 oraz

sin ∡BAD + sin ∡ABC = 5-. 7

Oblicz pole równoległoboku ABCD .

Przekształcenie określone jest w następujący sposób: P (x,y) = (y + 2,x − 1) , gdzie x ,y ∈ R .

Wykaż, że przekształcenie jest izometrią.
W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach , , , a następnie znajdź jego obraz w przekształceniu .
Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną na bok .
Oblicz pole trójkąta , który jest obrazem trójkąta w jednokładności o środku w punkcie (0,0) i skali .

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego suma długości wszystkich krawędzi wynosi 12.

Napisz wzór funkcji wyrażającej pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, w zależności od długości krawędzi podstawy . Podaj dziedzinę funkcji .
Wyznacz długości krawędzi graniastosłupa, dla których pole powierzchni całkowitej jest największe.

Wyznacz równanie okręgu o środku S = (3,− 5) przechodzącego przez początek układu współrzędnych.

Na zewnątrz kwadratu ABCD na bokach i zbudowano trójkąty równoboczne AEB i BF C . Uzasadnij, że proste i są prostopadłe.

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Oblicz objętość tego graniastosłupa jeżeli jego pole powierzchni całkowitej jest równe √ -- 48 3+ 96 .

Wykaż, że punkt przecięcia przekątnych trapezu leży na prostej przechodzącej przez środki jego podstaw.

Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 5 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 ∘ . Jaką długość ma promień podstawy tego walca? Jaka jest jego wysokość?

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem takim, że sin α = 13 . Oblicz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 24. Punkt leży na boku , a punkt – na boku tego trójkąta. Odcinek jest równoległy do boku i przechodzi przez środek wysokości trójkąta ABC (zobacz rysunek).