Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny

Wyszukiwanie zadań

W kąt o mierze x wpisano ciąg kół w taki sposób, że pierwsze koło ma promień r i jest styczne do ramion kąta a każde następne koło ma mniejszy promień i jest styczne do poprzedniego koła oraz do ramion kąta. Oblicz sumę pól kół tego ciągu.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Czwarty wyraz tego ciągu jest o 74 większy od drugiego wyrazu i jest mniejszy niż trzeci wyraz. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa ( 64-) − 7 . Wyznacz wszystkie wartości n , dla których spełniona jest nierówność

| | ||---1---||> 7, |S − Sn |

gdzie Sn oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (an) , a S jest sumą wszystkich wszystkich wyrazów ciągu (a ) n .

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony dla n ≥ 1 , w którym a1 < 0 . Suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest skończona i spełnia nierówność S ≥ 4a2 . Wyznacz iloraz tego ciągu.

Konstruujemy ciąg trójkątów równobocznych T1, T2, T 3, ... następująco:

  • T1 jest trójkątem równobocznym o polu 1.

  • dla każdego n ≥ 2 , trójkąt Tn ma wierzchołki na trzech różnych bokach trójkąta Tn−1 i każdy z wierzchołków trójkąta Tn dzieli odpowiedni bok trójkąta Tn −1 w stosunku 1 : 2.

ZINFO-FIGURE

Oblicz sumę pól wszystkich trójkątów T 1, T2, T3, ... .

Dane jest koło o promieniu r . W tym kole narysowano koło styczne wewnętrznie o średnicy r , w narysowanym kole znów narysowano koło styczne wewnętrznie o średnicy 12r itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę pól wszystkich narysowanych kół.

PIC

Liczby x1 i x2 są pierwiastkami równania 2 3x − x+ m = 0 , gdzie m jest pewną ujemną liczbą rzeczywistą. Ciąg (an) określony jest wzorem an = (x1 + x2)n . Oblicz sumę wyrazów tego ciągu.

Wartości funkcji f : D → R spełniają dla każdego x ∈ D następujące równanie

1 + f (x)+ (f(x))2 + (f(x))3 + ...= ----1----, 2x 2 − 3x

gdzie lewa strona równania jest sumą szeregu geometrycznego.

  • Wyznacz dziedzinę i wzór funkcji f .
  • Naszkicuj wykres funkcji f .

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 7, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8. Wyznacz wszystkie wartości n , dla których spełniona jest nierówność

| | ||S-−-Sn-|| | S | < 0,001, n

gdzie S n oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (a ) n .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an ) , określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 26, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 27. Wyznacz wszystkie wartości n , dla których spełniona jest nierówność

| | |S − Sn| ||-------|| < 0,00 01, Sn

gdzie Sn oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (an) .

Oblicz sumę nieskończonego szeregu geometrycznego

√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- √-2-− 2-+ 2√-2-− 4-+ 4√-2-− 8--+ -8-√2-− 16-+ 16√-2-− ... 3 3 3 3 9 9 3 27 27 3 81 81 3
Ukryj Podobne zadania

Oblicz sumę nieskończonego szeregu geometrycznego

√ -- √ -- √ -- √ -- √-3-− 3-+ 3√-3-− 9--+ -9√-3-− -27-+ 27-√-3-− ... 5 5 5 5 25 25 5 125 125 5

Dany jest okrąg o1 o promieniu r . Wewnątrz tego okręgu narysowano okrąg o2 styczny wewnętrznie o średnicy r , wewnątrz okręgu o 2 znów narysowano okrąg styczny wewnętrznie o średnicy 12r itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Wykaż, że suma długości okręgów o2017,o2018,...,o20160 jest mniejsza od długości okręgu o2016 .

PIC

Nieskończony ciąg geometryczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma wszystkich wyrazów ciągu (an ) o numerach nieparzystych jest równa 16, tj.

a + a + a + ...= 16. 1 3 5

Ponadto a + a = 5 ⋅a 1 3 2 2 . Wyznacz wzór ogólny na n–ty wyraz ciągu (an) .

Rozważmy ciąg trójkątów równobocznych takich, że długość boku pierwszego trójkąta jest równa a , zaś bok każdego następnego jest równy połowie wysokości poprzedniego. Oblicz sumę wszystkich pól tak utworzonych trójkątów.

Wyznacz te wartości x , dla których istnieje suma nieskończonego ciągu geometrycznego

1, 2cos x, 4 cos2 x, ...

Ciąg (an) jest określony dla n ≥ 1 i spełnia warunek

3an +3 − an+1 = an − 3an +2 dla n ≥ 1.

Oblicz sumę dwóch początkowych wyrazów ciągu (an) jeżeli suma wszystkich jego wyrazów jest równa 2016.

Dany jest nieskończony ciąg okręgów (on) o równaniach 2 2 11−n x + y = 2 , n ≥ 1 . Niech Pk będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o2k−1 i wewnętrznym okręgiem o2k . Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni P k , gdzie k ≥ 1 .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest nieskończony ciąg okręgów (on) o równaniach 2 2 7−n x + y = 3 , n ≥ 1 . Niech Pk będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o2k−1 i wewnętrznym okręgiem o2k . Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni P k , gdzie k ≥ 1 .

Określamy kwadraty K 1, K2, K3, ... następująco:

  • K1 jest kwadratem o boku długości a

  • K 2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3

  • K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 2 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2 ,

  • Kn jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn −1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

ZINFO-FIGURE

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.

Ukryj Podobne zadania

Określamy kwadraty K 1, K2, K3, ... następująco:

  • K1 jest kwadratem o boku długości a

  • K 2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2

  • K3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 2 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2 ,

  • Kn jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn −1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 2.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

ZINFO-FIGURE

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.

Dany jest ciąg an o wyrazie ogólnym ( 3−p) 2n−3 an = 3+p- .

  • Udowodnij, że ciąg an jest ciągiem geometrycznym.
  • Wyznacz te wartości parametru p , dla których istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu an . Oblicz tę sumę.
  • Wyznacz te wartości parametru p , dla których ciąg an jest malejący.

W kwadrat o boku a wpisujemy okrąg. W ten okrąg wpisujemy kwadrat, w który wpisujemy okrąg itd. W ten sposób powstanie nieskończony ciąg kwadratów. Oblicz sumę pól wszystkich tych kwadratów.

Ukryj Podobne zadania

W kwadrat o boku a wpisujemy okrąg. W ten okrąg wpisujemy kwadrat, w który wpisujemy okrąg itd. W ten sposób powstanie nieskończony ciąg kwadratów. Oblicz sumę obwodów wszystkich tych kwadratów.

W kwadrat K 1 o boku a wpisujemy kwadrat K2 , którego wierzchołki są środkami boków kwadratu K 1 , następnie w kwadrat K 2 wpisujemy kwadrat K 3 , którego wierzchołki są środkami boków K 2 i tak dalej. Oblicz sumę pól otrzymanego w ten sposób nieskończonego ciągu kwadratów.

Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (an) wynosi 124, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu równa się 125.

  • Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego (a ) n .
  • Sprawdź czy istnieje takie n , dla którego 2√2[(1+ √2)2−3] an = 5(√3+-1)(√-3−-1) .
  • Jakie dwie liczby x i y należy wstawić między pierwszy i trzeci wyraz ciągu (an) , aby ciąg (a1,x,y,a3) był ciągiem arytmetycznym?

Dany jest nieskończony ciąg sześcianów (Sn ) określony dla n ≥ 1 . Krawędź pierwszego z nich jest równa a1 = a . Krawędź drugiego z tych sześcianów ma długość a2 równą różnicy długości przekątnej i przekątnej ściany pierwszego sześcianu. Analogicznie, trzeci sześcian ma krawędź a 3 o długości równej różnicy długości przekątnej i przekątnej ściany drugiego sześcianu, itd. Oblicz sumę pól powierzchni wszystkich sześcianów tworzących ciąg (Sn ) .

Strona 2 z 3