Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

W trójkąt równoboczny o boku długości a wpisano koło, w które następnie wpisano trójkąt równoboczny, a w ten trójkąt znów koło i tak dalej. Oblicz sumę pól wszystkich wpisanych kół.

Dany jest ciąg geometryczny (an) określony wzorem  ( 1 )n an = 2x−-371 dla n ≥ 1 . Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą x , dla której nieskończony szereg a + a + a + ... 1 2 3 jest zbieżny.

*Ukryj

Dany jest ciąg geometryczny (an) określony wzorem  ( 1 )n an = 3x+-241 dla n ≥ 1 , którego niektóre wyrazy są ujemne. Wyznacz największą liczbę całkowitą x , dla której nieskończony szereg a + a + a + ... 1 2 3 jest zbieżny.

Rozważamy nieskończone ciągi geometryczne o ilorazie q > 0 , w których kwadrat drugiego wyrazu jest dodatni i równy sumie wyrazów: drugiego, trzeciego i czwartego. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego spośród rozpatrywanych ciągów, którego suma wszystkich wyrazów jest najmniejsza. Oblicz tę sumę.

Na jednym z ramion kąta ostrego o wierzchołku O i mierze α wybrano punkty A 1,A 2,A3,... , a na drugim ramieniu punkty B1,B 2,B3,... w ten sposób, że |OA 1| = a , AiBi ⊥ OB 1 oraz BiAi +1 ⊥ OA 1 dla wszystkich i ≥ 1 .


PIC


Wykaż, że długość nieskończonej łamanej A 1B 1A2B 2A 3B 3... jest równa --aα tg 2 .

W trójkąt równoboczny ABC o boku długości 1 wpisano koło. Prowadzimy proste równoległe do boków trójkąta ABC i styczne do koła wpisanego. Proste te odcinają od trójkąta ABC trzy trójkąty równoboczne. W każdy z nich wpisujemy koło i postępujemy analogicznie jak z kołem wpisanym w trójkąt ABC . Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę pól wszystkich otrzymanych w ten sposób kół.


PIC


Dane jest koło k1 o promieniu r . W tym kole narysowano koło k2 styczne wewnętrznie, którego pole jest równe połowie pola koła k1 . W kole k2 narysowano koło k3 styczne wewnętrznie, którego pole jest równe połowie pola koła k 2 . Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę obwodów wszystkich narysowanych kół.


PIC


Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony dla n ≥ 1 , którego wyrazy są niezerowe i iloraz q spełnia warunek: q ∈ (− 1,1) . Suma S wszystkich wyrazów ciągu (an) , suma S1 wszystkich wyrazów ciągu (an ) o numerach nieparzystych oraz suma S 2 wszystkich wyrazów ciągu (an) o numerach parzystych są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz q .

Wykaż, że zbiór  ( 1 ) A = − 2;1 ∪ (1;+ ∞ ) jest zbiorem wartości funkcji

 --x--- ----x---- ---x----- f(x ) = x − 2 + (x − 2 )2 + (x − 2)3 + ⋅⋅⋅

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony dla n ≥ 1 , w którym pierwszy wyraz jest liczbą naturalną, a iloczyn pierwszego i trzeciego wyrazu jest równy 1. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest liczbą z przedziału (3,4) . Oblicz iloraz tego ciągu.

Wyrazy a1,a2,a3,...,a10 pewnego nieskończonego ciągu an spełniają warunki a 1 + a3 + a5 + a7 + a9 = 20 , a2 + a4 + a 6 + a8 + a10 = 15 . Wiedząc, że nieskończony ciąg bn określony wzorem bn = 43an+5 jest ciągiem geometrycznym, oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu bn .

Niech T1 będzie trójkątem równobocznym o boku długości a . Konstruujemy kolejno trójkąty równoboczne T2,T3,T 4... takie, że bok kolejnego trójkąta jest równy wysokości poprzedniego trójkąta. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów T ,T ,T ,... 1 2 3 .

Wyznacz iloraz nieskończonego, zbieżnego ciągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy 6, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu stanowi 18 sumy ich kwadratów.

Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (an) wynosi 6, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 163 . Oblicz iloraz ciągu (an) .

*Ukryj

Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (an) wynosi 18, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 16. Oblicz pierwszy wyraz a1 tego ciągu.

Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (an) wynosi 18, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 16. Oblicz iloraz tego ciągu.

Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (an) wynosi 14, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 272 . Oblicz pierwszy wyraz a1 tego ciągu.

Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (an) wynosi 283 , a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 9. Oblicz iloraz ciągu (an) .

Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (an) wynosi 14, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 272 . Oblicz iloraz ciągu (an) .

Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (an) wynosi 283 , a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 9. Oblicz pierwszy wyraz a1 tego ciągu.

Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (an) wynosi 6, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 163 . Oblicz pierwszy wyraz a1 tego ciągu.

Monotoniczny ciąg geometryczny (an) jest zdefiniowany przez warunki

{ √ -- a1 = 5 an+ 2 = an − an+1.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (a ) n .

Niech pn , dla liczby całkowitej n ≥ 0 , oznacza sumę odwrotności pierwiastków równania

√ -- 3x2 − 92nx − 63n = 0

z niewiadomą x . Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (pn ) .

Ciąg (an) jest określony dla n ≥ 1 i spełnia warunki

{ a1 = 2 0 an+ 1 = --56(n+-1)an-- dla n ≥ 1 1+2+ 3+...+ 48

Oblicz granicę

 ( ) lim a + a2+ a3-+ ⋅⋅⋅+ an- . n→ +∞ 1 2! 3! n!

Wykaż, że suma szeregu geometrycznego zbieżnego jest ujemna wtedy i tylko wtedy, gdy jego pierwszy wyraz jest ujemny.

W kąt o mierze x wpisano ciąg kół w taki sposób, że pierwsze koło ma promień r i jest styczne do ramion kąta a każde następne koło ma mniejszy promień i jest styczne do poprzedniego koła oraz do ramion kąta. Oblicz sumę pól kół tego ciągu.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) określony dla n ≥ 1 , w którym a1 < 0 . Suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest skończona i spełnia nierówność S ≥ 4a2 . Wyznacz iloraz tego ciągu.

Dane jest koło o promieniu r . W tym kole narysowano koło styczne wewnętrznie o średnicy r , w narysowanym kole znów narysowano koło styczne wewnętrznie o średnicy 12r itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę pól wszystkich narysowanych kół.


PIC


Strona 1 z 3>>>>