Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło

Wyszukiwanie zadań

Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC , o ramionach AC i BC , leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC .

Z półkola o promieniu r wycięto półkole o średnicy r (zobacz rysunek). Cięciwa AB jest styczna do mniejszego półkola i jest równoległa do średnicy większego półkola. Oblicz pole zacieniowanego obszaru.


PIC


W okrąg o środku S wpisany jest trójkąt równoramienny ABC o kącie między ramionami AC i BC równym 4 0∘ . Przez wierzchołek B i środek okręgu S poprowadzono prostą, która przecięła bok AC trójkąta w punkcie D . Wyznacz miarę kąta CDB .

Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Udowodnij, że punkty styczności tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.

Różnica promieni dwóch okręgów współśrodkowych jest równa 3. W okręgu o większym promieniu poprowadzono cięciwę styczną do drugiego okręgu. Cięciwa ta ma długość 10. Oblicz długość promieni tych okręgów.

Przez środek S cięciwy AB okręgu poprowadzono cięciwę CD , przy czym |CS | = x i |DS | = y . Oblicz długość cięciwy AB .

W półkole o średnicy AB wpisano okrąg styczny do średnicy AB w jej środku. Znajdź promień okręgu stycznego jednocześnie do półokręgu AB , do wpisanego okręgu oraz do średnicy AB jeżeli |AB | = 2R .

Dwa okręgi przecinają się w punktach K i L . Przez punkty K i L poprowadzono proste, które przecinają dane okręgi w punktach A,B ,C,D tak, jak pokazano to na poniższym rysunku. Wykaż, że AC ∥ BD .


PIC


Cięciwa CD okręgu o środku O przecina średnicę AB tego okręgu w punkcie M (rysunek). Kąt środkowy oparty na łuku CB ma miarę 4 6∘ , a ∡CMB ma miarę 80 ∘ . Oblicz |∡ACD | .


PIC


Ukryj Podobne zadania

Cięciwa MN okręgu o środku O przecina średnicę KL tego okręgu w punkcie P (rysunek). Kąt środkowy oparty na łuku ML ma miarę 44∘ , a ∡MP L ma miarę 76∘ . Oblicz |∡KMN | .


ZINFO-FIGURE


Na okręgu o środku S wybrano punkty A ,B,C ,D,E w ten sposób, że odcinek AB jest średnicą okręgu oraz |∡BCD | = |∡BEC | (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że proste AB i CD są prostopadłe.

Dwa okręgi o promieniach r i R (r < R ) są styczne zewnętrznie. Prosta k nie przechodzi przez punkt wspólny tych okręgów i jest styczna do każdego z nich. Znajdź promień okręgu stycznego zewnętrznie do danych okręgów i stycznego do prostej k . Rozważ dwa przypadki.

Dane są dwa kąty wpisane oparte na tym samym łuku. Wykaż, że dwusieczne tych kątów przetną się w punkcie należącym do okręgu.

Okręgi o1 i o2 są styczne zewnętrznie oraz oba są styczne wewnętrznie do okręgu o3 . Środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej, a cięciwa EF okręgu o3 jest wspólną styczną okręgów o1 i o2 . Oblicz długość odcinka EF jeżeli promienie okręgów o 1 i o 2 są odpowiednio równe r 1 i r 2 .


PIC


Ukryj Podobne zadania

Na średnicy AB półokręgu o3 wybrano punkt C i na odcinkach AC i CB jako na średnicach skonstruowano półokręgi o1 i o2 . Odcinek CD jest odcinkiem wspólnej stycznej półokręgów o1 i o2 . Oblicz długość odcinka CD jeżeli promienie półokręgów o 1 i o 2 są odpowiednio równe r 1 i r 2 .


PIC


W okręgu narysowano dwie średnice AB i CD . Udowodnij, że czworokąt ACBD jest prostokątem.

W półkolu z końca średnicy poprowadzono cięciwę, która tworzy ze średnicą kąt o mierze 15 ∘ . Oblicz w jakim stosunku zostało podzielone pole tego półkola.

Na rysunku okręgi o środkach B i C są styczne zewnętrznie i jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o środku w punkcie A . Wykaż, że jeśli |BC | = |AC | , to długość odcinka AB jest równa długości średnicy okręgu o środku w punkcie C .


PIC


Wyznacz miarę łukową kąta środkowego w okręgu o promieniu r = 4 , opartego na łuku długości l = 2 π . Podaj miarę tego kąta w stopniach.

Ukryj Podobne zadania

Wyznacz miarę łukową kąta środkowego w okręgu o promieniu r = 8 , opartego na łuku długości l = 23π- . Podaj miarę tego kąta w stopniach.

Wyznacz miarę łukową kąta środkowego w okręgu o promieniu r = 12 , opartego na łuku długości l = 6 . Podaj miarę tego kąta w stopniach.

Wyznacz miarę łukową kąta środkowego w okręgu o promieniu r = 12 , opartego na łuku długości l = 4 π . Podaj miarę tego kąta w stopniach.

Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Uzasadnij, że środki tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, w który można wpisać okrąg.

W kąt o mierze x wpisano ciąg kół w taki sposób, że pierwsze koło ma promień r i jest styczne do ramion kąta a każde następne koło ma mniejszy promień i jest styczne do poprzedniego koła oraz do ramion kąta. Oblicz sumę pól kół tego ciągu.

Strona 2 z 6
spinner