Okrąg i koło/Planimetria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło

Dwa okręgi przecinają się w punktach i . Przez punkt pierwszego okręgu prowadzimy proste i , przecinające drugi okrąg w punktach i . Udowodnij, że styczna w punkcie do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej .

Ukryj Podobne zadania

Środek okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC , o ramionach i , leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).

Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC .

Z półkola o promieniu wycięto półkole o średnicy (zobacz rysunek). Cięciwa jest styczna do mniejszego półkola i jest równoległa do średnicy większego półkola. Oblicz pole zacieniowanego obszaru.

W okrąg o środku wpisany jest trójkąt równoramienny ABC o kącie między ramionami i równym 4 0∘ . Przez wierzchołek i środek okręgu poprowadzono prostą, która przecięła bok trójkąta w punkcie . Wyznacz miarę kąta CDB .

Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Udowodnij, że punkty styczności tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.

Różnica promieni dwóch okręgów współśrodkowych jest równa 3. W okręgu o większym promieniu poprowadzono cięciwę styczną do drugiego okręgu. Cięciwa ta ma długość 10. Oblicz długość promieni tych okręgów.

Przez środek cięciwy okręgu poprowadzono cięciwę , przy czym |CS | = x i |DS | = y . Oblicz długość cięciwy .

Prosta jest styczna do okręgu w punkcie . Uzasadnij, że jeśli |BC | = |BD | , to |AC | = |CD | .

ZINFO-FIGURE

W półkole o średnicy wpisano okrąg styczny do średnicy w jej środku. Znajdź promień okręgu stycznego jednocześnie do półokręgu , do wpisanego okręgu oraz do średnicy jeżeli |AB | = 2R .

Dwa okręgi przecinają się w punktach i . Przez punkty i poprowadzono proste, które przecinają dane okręgi w punktach A,B ,C,D tak, jak pokazano to na poniższym rysunku. Wykaż, że AC ∥ BD .

Cięciwa okręgu o środku przecina średnicę tego okręgu w punkcie (rysunek). Kąt środkowy oparty na łuku ma miarę 4 6∘ , a ∡CMB ma miarę 80 ∘ . Oblicz |∡ACD | .

Ukryj Podobne zadania

Cięciwa okręgu o środku przecina średnicę tego okręgu w punkcie (rysunek). Kąt środkowy oparty na łuku ma miarę 44∘ , a ∡MP L ma miarę 76∘ . Oblicz |∡KMN | .

ZINFO-FIGURE

Na okręgu o środku wybrano punkty A ,B,C ,D,E w ten sposób, że odcinek jest średnicą okręgu oraz |∡BCD | = |∡BEC | (zobacz rysunek).

Wykaż, że proste i są prostopadłe.

Dwa okręgi o promieniach i ( r < R ) są styczne zewnętrznie. Prosta nie przechodzi przez punkt wspólny tych okręgów i jest styczna do każdego z nich. Znajdź promień okręgu stycznego zewnętrznie do danych okręgów i stycznego do prostej . Rozważ dwa przypadki.

Dane są dwa kąty wpisane oparte na tym samym łuku. Wykaż, że dwusieczne tych kątów przetną się w punkcie należącym do okręgu.

Okręgi i są styczne zewnętrznie oraz oba są styczne wewnętrznie do okręgu . Środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej, a cięciwa okręgu jest wspólną styczną okręgów i . Oblicz długość odcinka jeżeli promienie okręgów o 1 i o 2 są odpowiednio równe r 1 i r 2 .

Ukryj Podobne zadania

Na średnicy półokręgu wybrano punkt i na odcinkach i jako na średnicach skonstruowano półokręgi i . Odcinek jest odcinkiem wspólnej stycznej półokręgów i . Oblicz długość odcinka jeżeli promienie półokręgów o 1 i o 2 są odpowiednio równe r 1 i r 2 .

W okręgu narysowano dwie średnice i . Udowodnij, że czworokąt ACBD jest prostokątem.

Dany jest okrąg o środku w punkcie . Przedłużenie średnicy tego okręgu przecina przedłużenie cięciwy w punkcie (zobacz rysunek). Ponadto: |PB | = 8 , |DC | = 14 oraz |PD | = 10 .

ZINFO-FIGURE

Oblicz promień okręgu .

W półkolu z końca średnicy poprowadzono cięciwę, która tworzy ze średnicą kąt o mierze 15 ∘ . Oblicz w jakim stosunku zostało podzielone pole tego półkola.

Na rysunku okręgi o środkach i są styczne zewnętrznie i jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o środku w punkcie . Wykaż, że jeśli |BC | = |AC | , to długość odcinka jest równa długości średnicy okręgu o środku w punkcie .