Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Dane są trzy okręgi o1 , o2 i o3 . Okręgi o1 , o2 są styczne zewnętrznie, jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o3 (patrz rysunek). Promienie okręgów o1 i o2 są odpowiednio równe r1 i r2 , a środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej. Uzasadnij, że długość odcinka EF jest równa  √ ---- 4 r1r2 , gdzie odcinek EF jest cięciwą okręgu o 3 i zawiera się we wspólnej stycznej okręgów o1 i o2 .


PIC


W okręgu o promieniu 5 poprowadzono dwie równoległe cięciwy o długościach 6 i 8. Oblicz odległość między tymi cięciwami.

Wspólne styczne dwóch okręgów stycznych zewnętrznie przecinają się pod kątem 60∘ . Wyznacz stosunek długości promieni tych okręgów.

*Ukryj

Do dwóch stycznych zewnętrznie okręgów poprowadzono dwie wspólne styczne: jedną zewnętrzną i jedną wewnętrzną. Proste te przecinają się pod kątem 60∘ . Wyznacz stosunek długości promieni tych okręgów.

Dany jest prostokąt ABCD . Okręgi o średnicach AB i AD przecinają się w punktach A i P .


PIC


Wykaż, że punkty B,P i D leżą na jednej prostej.

*Ukryj

Dany jest równoległobok ABCD . Okręgi o średnicach AB i BC przecinają się w punktach B i E .


PIC


Wykaż, że punkty A,E i C leżą na jednej prostej.

Punkty A i B są punktami wspólnymi dwóch okręgów, a odcinki AD i AC ich średnicami.


PIC


Wykaż, że punkt B leży na prostej przechodzącej przez punkty C i D .

Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek pola większego z tych okręgów do pola mniejszego jest równy 17 + 12 √ 2- .


PIC


Z wierzchołków kwadratu o boku a , jako ze środków zakreślono 4 okręgi o promieniu a2 . Znajdź promienie okręgów stycznych do tych czterech okręgów jednocześnie.

Z punktu leżącego na okręgu o promieniu 5 poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy. Różnica ich długości jest równa 2. Oblicz długości tych cięciw.

*Ukryj

Z punktu leżącego na okręgu o promieniu  1 62 poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy. Różnica ich długości jest równa 7. Oblicz długości tych cięciw.

Koło i kwadrat mają równe obwody. Wykaż, że pierwsza z tych figur ma większe pole.

Suma pól dwóch kół stycznych zewnętrznie jest równa  2 234π cm . Oblicz promienie tych kół, jeżeli wiadomo, że obwód większego koła jest o 400% większy od obwodu mniejszego koła.

Suma kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku wynosi 24 0∘ . Oblicz miarę kąta środkowego.

*Ukryj

Suma kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku wynosi 33 0∘ . Oblicz miarę kąta wpisanego.

Dwa okręgi o środkach S1 i S2 przecinają się w punktach A i B , przy czym punkty S1 i S2 leżą po przeciwnych stronach prostej AB .


PIC


Miary kątów AS 1B i AS 2B wynoszą odpowiednio 90 ∘ i 60∘ . Wyznacz stosunek Rr- długości promieni tych okręgów.

Każde dwa spośród trzech okręgów są zewnętrznie styczne. Oblicz promienie tych okręgów, jeśli wiadomo, że odległości między ich środkami wynoszą 8, 11, 13.

Oblicz pole wycinka koła o środku w punkcie A (zacieniowany obszar) jeśli pole rombu ABCD wynosi  √ -- 2 2 , a kąt ostry rombu ma miarę 45∘ .


PIC


W kole o środku S poprowadzono cięciwę, która nie jest średnicą. Punkt A dzieli tę cięciwę na dwa odcinki o długościach 11 i 29. Odcinek AS ma długość 15. Oblicz promień tego koła.

Punkty P 1,P 2,P3,...,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest punktem przecięcia cięciw P 11P 22 i P1P16 .


PIC


Udowodnij, że |∡P 16AP 11| = 60∘ .

*Ukryj

Punkty P1,P 2,P3,...,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest punktem przecięcia cięciw P5P21 i P1P 15 .


PIC


Udowodnij, że |∡P 15AP 21| = 75∘ .

Punkty P1,P 2,P3,...,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest punktem przecięcia cięciw P9P20 i P6P 13 .


PIC


Udowodnij, że trójkąt AP 20P13 jest równoramienny.

Odcinek CD jest zawarty w dwusiecznej kąta ACB trójkąta ABC . Kąty trójkąta ABC mają miary |∡CAB | = 42 ∘, |∡ABC | = 7 8∘ . Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie C przecina prostą AB w punkcie E (zobacz rysunek). Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów trójkąta CDE .


PIC


Dwa okręgi przecinają się w punktach M i N . Przez punkt A pierwszego okręgu prowadzimy proste AM i AN , przecinające drugi okrąg w punktach B i C . Udowodnij, że styczna w punkcie A do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej BC .

Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC , o ramionach AC i BC , leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC .

Z półkola o promieniu r wycięto półkole o średnicy r (zobacz rysunek). Cięciwa AB jest styczna do mniejszego półkola i jest równoległa do średnicy większego półkola. Oblicz pole zacieniowanego obszaru.


PIC


W okrąg o środku S wpisany jest trójkąt równoramienny ABC o kącie między ramionami AC i BC równym 4 0∘ . Przez wierzchołek B i środek okręgu S poprowadzono prostą, która przecięła bok AC trójkąta w punkcie D . Wyznacz miarę kąta CDB .

Strona 1 z 6>>>>