Okrąg i koło/Planimetria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło

Trzy różne punkty A , B i leżą na okręgu o środku w punkcie . Odcinek jest średnicą tego okręgu. Styczne i do tego okręgu, odpowiednio w punktach i , przecinają się w punkcie (zobacz rysunek poniżej).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że trójkąty ACB i ASD są podobne.

Dane są trzy okręgi , i . Okręgi , są styczne zewnętrznie, jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu (patrz rysunek). Promienie okręgów i są odpowiednio równe i , a środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej. Uzasadnij, że długość odcinka jest równa √ ---- 4 r1r2 , gdzie odcinek jest cięciwą okręgu o 3 i zawiera się we wspólnej stycznej okręgów i .

W okręgu o promieniu 5 poprowadzono dwie równoległe cięciwy o długościach 6 i 8. Oblicz odległość między tymi cięciwami.

Wspólne styczne dwóch okręgów stycznych zewnętrznie przecinają się pod kątem 60∘ . Wyznacz stosunek długości promieni tych okręgów.

Ukryj Podobne zadania

Do dwóch stycznych zewnętrznie okręgów poprowadzono dwie wspólne styczne: jedną zewnętrzną i jedną wewnętrzną. Proste te przecinają się pod kątem 60∘ . Wyznacz stosunek długości promieni tych okręgów.

Dany jest prostokąt ABCD . Okręgi o średnicach i przecinają się w punktach i .

Wykaż, że punkty B,P i leżą na jednej prostej.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest równoległobok ABCD . Okręgi o średnicach i przecinają się w punktach i .

Wykaż, że punkty A,E i leżą na jednej prostej.

Punkty i są punktami wspólnymi dwóch okręgów, a odcinki i ich średnicami.

Wykaż, że punkt leży na prostej przechodzącej przez punkty i .

Dwa okręgi o promieniach r = 2 i R = 6 są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej . Wykaż, że prosta przechodząca przez środki i tych okręgów przecina prostą pod kątem α = 30∘ (zobacz rysunek).

Dwa okręgi o środkach i są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek pola większego z tych okręgów do pola mniejszego jest równy 17 + 12 √ 2- .

Z wierzchołków kwadratu o boku , jako ze środków zakreślono 4 okręgi o promieniu . Znajdź promienie okręgów stycznych do tych czterech okręgów jednocześnie.

Z punktu leżącego na okręgu o promieniu 5 poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy. Różnica ich długości jest równa 2. Oblicz długości tych cięciw.

Ukryj Podobne zadania

Z punktu leżącego na okręgu o promieniu 1 62 poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy. Różnica ich długości jest równa 7. Oblicz długości tych cięciw.

Koło i kwadrat mają równe obwody. Wykaż, że pierwsza z tych ﬁgur ma większe pole.

Suma pól dwóch kół stycznych zewnętrznie jest równa 2 234π cm . Oblicz promienie tych kół, jeżeli wiadomo, że obwód większego koła jest o 400% większy od obwodu mniejszego koła.

Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu . Na przedłużeniu cięciwy poza punkt odłożono odcinek . Przez punkty i poprowadzono prostą. Prosta przecina dany okrąg w punktach i (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ASD jest trzy razy większa od miary kąta ACS , to |BC | = r .

Suma kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku wynosi 24 0∘ . Oblicz miarę kąta środkowego.

Ukryj Podobne zadania

Suma kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku wynosi 33 0∘ . Oblicz miarę kąta wpisanego.

Dany jest okrąg o środku w punkcie . Średnica tego okręgu przecina cięciwę w punkcie (zobacz rysunek). Ponadto: |PB | = 4 , |PC | = 8 oraz |PD | = 5 .

ZINFO-FIGURE

Oblicz promień okręgu .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest okrąg o środku w punkcie . Średnica tego okręgu przecina cięciwę w punkcie (zobacz rysunek). Ponadto: |PB | = 4 , |PC | = 10 oraz |PD | = 6 .

ZINFO-FIGURE

Oblicz promień okręgu .

Dwa okręgi o środkach i przecinają się w punktach i , przy czym punkty i leżą po przeciwnych stronach prostej .

Miary kątów AS 1B i AS 2B wynoszą odpowiednio 90 ∘ i 60∘ . Wyznacz stosunek Rr- długości promieni tych okręgów.

Każde dwa spośród trzech okręgów są zewnętrznie styczne. Oblicz promienie tych okręgów, jeśli wiadomo, że odległości między ich środkami wynoszą 8, 11, 13.

Oblicz pole wycinka koła o środku w punkcie (zacieniowany obszar) jeśli pole rombu ABCD wynosi √ -- 2 2 , a kąt ostry rombu ma miarę 45∘ .

W kole o środku poprowadzono cięciwę, która nie jest średnicą. Punkt dzieli tę cięciwę na dwa odcinki o długościach 11 i 29. Odcinek ma długość 15. Oblicz promień tego koła.

Punkty P 1,P 2,P3,...,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt jest punktem przecięcia cięciw P 11P 22 i P1P16 .

Udowodnij, że |∡P 16AP 11| = 60∘ .

Ukryj Podobne zadania

Punkty P1,P 2,P3,...,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt jest punktem przecięcia cięciw P9P20 i P6P 13 .

Udowodnij, że trójkąt AP 20P13 jest równoramienny.

Punkty P1,P 2,P3,...,P23,P24 dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt jest punktem przecięcia cięciw P5P21 i P1P 15 .

Udowodnij, że |∡P 15AP 21| = 75∘ .

Odcinek jest zawarty w dwusiecznej kąta ACB trójkąta ABC . Kąty trójkąta ABC mają miary |∡CAB | = 42 ∘, |∡ABC | = 7 8∘ . Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie przecina prostą w punkcie (zobacz rysunek). Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów trójkąta CDE .

Strona 1 z 6