Okrąg i koło/Planimetria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło

Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Uzasadnij, że środki tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, w który można wpisać okrąg.

W kąt o mierze wpisano ciąg kół w taki sposób, że pierwsze koło ma promień i jest styczne do ramion kąta a każde następne koło ma mniejszy promień i jest styczne do poprzedniego koła oraz do ramion kąta. Oblicz sumę pól kół tego ciągu.

W kole poprowadzono cięciwę i średnicę. Cięciwa dzieli średnicę na odcinki o długościach 2 oraz 10 i tworzy z nią kąt o mierze 30∘ . Oblicz odległość środka okręgu od cięciwy.

Kąt wpisany w koło ma miarę ∘ 45 i jest oparty na łuku długości . Oblicz pole wycinka koła wyznaczonego przez ten sam łuk.

Dany jest okrąg o średnicy i środku oraz dwa okręgi o średnicach i . Okrąg o środku i promieniu ma z każdym z danych okręgów dokładnie jeden punkt wspólny (zobacz rysunek). Wykaż, że r = 16|AB | .

Z punktu poprowadzono styczną do okręgu o środku w punkcie oraz sieczną, która ma z tym okręgiem dwa punkty wspólne oraz . Wiadomo, że ∡PAB = 55∘ oraz ∡ABC = 8 5∘ . Oblicz miary kątów trójkąta PAC .

W kąt o mierze ∘ 60 wpisano pięć kół tak, że każde następne koło poza pierwszym, jest styczne zewnętrznie do koła poprzedniego. Oblicz ile razy suma pól wszystkich kół jest większa od pola najmniejszego koła.

Na rysunku przedstawiono dwa koła o promieniu r = 2 takie, że środek każdego z kół leży na brzegu drugiego koła. Oblicz pole powierzchni zacieniowanej części tej ﬁgury.

Dwa styczne zewnętrznie okręgi o środkach i są styczne wewnętrznie do okręgu o(C ,4) , przy czym punkty A ,B,C nie są współliniowe. Oblicz obwód trójkąta ABC .

Ukryj Podobne zadania

Dane dwa okręgi o środkach i są styczne zewnętrznie i jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o środku w punkcie . Wiedząc, że |BC | = |AC | oraz promień okręgu o środku ma długość rc = 3 oblicz długość odcinka .

Wierzchołki i trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu , a środek tego okręgu leży na boku trójkąta (zobacz rysunek). Prosta jest styczna do tego okręgu w punkcie , a ponadto √ -- |AC | = r 3 . Wykaż, że kąt ACB ma miarę 120∘ .

Ukryj Podobne zadania

Wierzchołki i trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu , a środek tego okręgu leży na boku trójkąta (zobacz rysunek). Prosta jest styczna do tego okręgu w punkcie , a ponadto |AC | = 2rco s20∘ . Wykaż, że kąt ABC ma miarę 50∘ .

Wierzchołki i trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu , a środek tego okręgu leży na boku trójkąta (zobacz rysunek). Prosta jest styczna do tego okręgu w punkcie , a ponadto |∡ACB | = 12 0∘ . Wykaż, że |AC | = r√ 3- .

Pole wycinka koła o promieniu 3 cm jest równe 2 2 cm . Oblicz miarę łukową kąta środkowego tego wycinka.

Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku i średnicach odpowiednio i (punkty A ,B ,C,D i są współliniowe).

Punkt leży na wewnętrznym półokręgu, punkt leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O ,P i są współliniowe. Udowodnij, że |∡AP B |+ |∡CRD | = 1 80∘ .

Promień okręgu wpisanego w wycinek koła o kącie środkowym ∘ 60 ma długość 2. Oblicz pole tego wycinka.

Okręgi o środkach odpowiednio i są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku jest równy 2.

Uzasadnij, że promień okręgu o środku jest mniejszy od √ -- 2− 1 .

Ukryj Podobne zadania

Okręgi o środkach odpowiednio i są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku jest równy 1.

Uzasadnij, że promień okręgu o środku jest większy niż √ -- 2+ 2 2 .

Udowodnij, że jeżeli jest środkiem okręgu, na którym leżą punkty A ,B,C , to β = 90 ∘ + α .

Odległości środków dwóch okręgów od wierzchołka kąta są równe 8 i 12. Okręgi te są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion kąta. Oblicz długości ich promieni.

Promienie okręgów i są równe odpowiednio r1 = 29 i r2 = 25 , a odległość między środkami tych okręgów jest równa 36. Oblicz długość odcinka łączącego punkty wspólne okręgów i .

Wyznacz miary kątów trójkąta ABC :

Ukryj Podobne zadania

Wyznacz miary kątów trójkąta ABC :

Dany jest okrąg o środku w punkcie . Prosta jest styczna do tego okręgu w punkcie , a środek tego okręgu leży na odcinku (zob. rysunek). Udowodnij, że kąt KML ma miarę 31∘ .

Zewnętrznie styczne okręgi o środkach S1,S2 i promieniach r1,r2(r1 > r2) są styczne do prostej . Kąt między prostą przechodzącą przez środki okręgów i prostą ma miarę 30∘ . Wyznacz długości promieni okręgów, jeśli wiadomo, że ich suma jest równa 24.

Strona 3 z 6