Okrąg i koło/Planimetria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło

Dane są dwa okręgi zewnętrznie styczne oraz styczne wewnętrznie do trzeciego. Środki okręgów tworzą trójkąt równoramienny o bokach długości 1 i 2. Znajdź długości promieni tych okręgów (rozważ dwa przypadki).

W okrąg o promieniu 6 cm wpisano w sposób symetryczny cztery przystające okręgi. Oblicz ich promień.

Trzy okręgi o promieniach 2, 4 i 6 są parami zewnętrznie styczne. Oblicz długość promienia okręgu zawierającego punkty styczności tych okręgów.

W kąt o mierze ∘ 60 wpisano dwa okręgi styczne zewnętrznie. Promień mniejszego okręgu ma długość 1. Oblicz długość promienia drugiego okręgu.

Okrąg dopisany do boku trójkąta ABC to okrąg, który jest jednocześnie styczny do tego boku, oraz do przedłużeń boków i .

Wykaż, że jeżeli jest punktem styczności tego okręgu z przedłużeniem boku to długość odcinka jest równa połowie obwodu trójkąta ABC .

Przez punkty i okręgu poprowadzono styczne, które przecięły się w punkcie .

Oblicz miarę kąta BAC jeżeli |∡CSA = 6 5∘| .

Wykaż, że stosunek pola kwadratu wpisanego w koło do pola tego koła jest mniejszy od .

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że stosunek pola kwadratu opisanego na kole do pola tego koła jest mniejszy od .

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, a odległość ich środków jest równa 19. Gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to ta odległość wynosiłaby 5. Wyznacz długości promieni tych okręgów.

Na okręgu o promieniu wybrano punkty i w ten sposób, że proste i są styczne do okręgu. Punkt jest punktem wspólnym odcinka i prostej łączącej ze środkiem tego okręgu. Wykaż, że |SA |⋅|SB | = r2 .

Środek okręgu leży w odległości 10 cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o 22 cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.

Ukryj Podobne zadania

Środek okręgu leży w odległości 8 cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o 13 cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.

Trzy koła o promieniu 1 są parami styczne zewnętrznie. Oblicz pole obszaru zawartego między tymi kołami.

Ramiona kąta o mierze ∘ 60 przecięto prostą prostopadłą do jednego z ramion kąta i wpisano dwa koła styczne do obu ramion tego kąta i prostej . Oblicz stosunek pól tych kół.

Wiedząc, że punkt jest środkiem okręgu, oblicz miarę kąta .

W wycinek koła o kącie ∘ 60 wpisano okrąg o promieniu 2 cm. Oblicz pole tego wycinka.

Z półokręgów budujemy krzywą (patrz rysunek). Pierwszy półokrąg ma promień długości r,r > 0 , a promień każdego następnego półokręgu stanowi promienia poprzedniego. Niech oznacza liczbę półokręgów tworzących tę krzywą. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej długość krzywej jest mniejsza od 3πr .

Na okręgu o środku wybrano punkty A ,B,C i w ten sposób, że prosta zawiera punkt , a proste i przecinają się w punkcie . Punkt jest punktem wspólnym prostych i . Wykaż, że proste i są prostopadłe.

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach i , styczne zewnętrznie w punkcie . Prosta jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach i oraz |∡AP C | = α i |∡ABC | = β (zobacz rysunek). Wykaż, że α = 180∘ − 2β .

Ukryj Podobne zadania

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach i , styczne wewnętrznie w punkcie . Prosta jest styczna do mniejszego okręgu w punkcie oraz |∡PAB | = α i |∡BRC | = β (zobacz rysunek). Wykaż, że β = 2 70∘ − 2α .

W okręgu o promieniu 6 średnice i przecinają się pod kątem ∘ 45 . Na okręgu tym wybrano punkt oraz skonstruowano jego rzuty i odpowiednio na średnice i . Oblicz długość odcinka .

Na okręgu wybrano takich pięć różnych punktów: A ,A 1,A 2,A 3,A 4 , że

|∡A 1AA 2| = |∡A 2AA 3| = |∡A 3AA 4| = 45∘.

Udowodnij, że punkty A 1,A 2,A 3,A 4 są wierzchołkami kwadratu.

Dany jest okrąg . Kreślimy cięciwę nieprzechodzącą przez środek okręgu , a następnie rysujemy okrąg współśrodkowy z okręgiem i styczny do cięciwy . Okręgi i ograniczają pierścień kołowy. Uzasadnij, że pole pierścienia kołowego nie zależy od długości promienia okręgu (zależy tylko od długości cięciwy ).

Strona 4 z 6