Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło

Wyszukiwanie zadań

Punkty A i B leżą na okręgu o środku O i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy 7:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.

PIC

Ukryj Podobne zadania

Punkty A i B leżą na okręgu o środku O i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy 13:5. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.

PIC

Dane są okręgi o środkach O1,O 2 oraz promieniu 2. Jeden z nich jest styczny wewnętrznie, a drugi styczny zewnętrznie do okręgu o środku O i promieniu 5. Wiadomo, że |∡O 1OO 2| = 60 ∘ . Oblicz długość odcinka O O 1 2 .

Cięciwa okręgu tworzy kąt ∘ 70 z promieniem przechodzącym przez jej koniec. Oblicz obydwa kąty środkowe wyznaczone przez tę cięciwę.

Ukryj Podobne zadania

Cięciwa okręgu tworzy kąt ∘ 60 z promieniem przechodzącym przez jej koniec. Oblicz obydwa kąty środkowe wyznaczone przez tę cięciwę.

Cięciwa okręgu tworzy kąt ∘ 65 z promieniem przechodzącym przez jej koniec. Oblicz obydwa kąty środkowe wyznaczone przez tę cięciwę.

W okręgu o promieniu długości r kreślimy średnicę AB oraz taką cięciwę AC , że |AC | = r . Jaką częścią okręgu jest łuk CAB ?

W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość 10 i jest styczna do wewnętrznego okręgu (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie wyznaczających go okręgów.

Dwie cięciwy przecinają się wewnątrz okręgu tak, że odcinki jednej z nich mają długości 8 i 6, a odcinki drugiej pozostają w stosunku 2:3. Podaj długości odcinków drugiej cięciwy.

Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości 2. Obszar P jest zawarty między półokręgiem o średnicy BC i łukiem okręgu o środku A przechodzącym przez punkty B i C . Oblicz pole obszaru P .

ZINFO-FIGURE

Z punktu A leżącego na okręgu poprowadzono średnicę AB i cięciwę AC , które tworzą kąt o mierze 20∘ . Przez punkt C poprowadzono styczną do okręgu przecinającą prostą AB w punkcie D . Oblicz miary pozostałych kątów trójkąta ACD .

Ukryj Podobne zadania

W okręgu o promieniu 8 cm poprowadzono cięciwę AB . Długość łuku AB jest równa 2π . Oblicz miarę kąta ostrego zawartego między cięciwą AB a styczną do okręgu w punkcie A .

W okręgu o promieniu 5 cm poprowadzono cięciwę AB . Długość łuku AB jest równa 2π . Oblicz miarę kąta ostrego zawartego między cięciwą AB a styczną do okręgu w punkcie A .

Dany jest okrąg O . Przez punkt A poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – P oraz Q . Przez punkt B leżący na odcinku AP poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie D , która przecięła odcinek AQ w punkcie C (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |AQ | = 5 ⋅|BP | oraz |CD | = 2 ⋅|BD | , to trójkąt ABC jest równoramienny.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest okrąg O . Przez punkt A poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – P oraz Q . Przez punkt B leżący na odcinku AP poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie D , która przecięła odcinek AQ w punkcie C (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |AQ | = 6 ⋅|BP | oraz |CD | = 3 ⋅|BD | , to trójkąt ABC nie jest równoramienny.

Przez punkt styczności dwóch okręgów poprowadzono sieczną. Udowodnij, że wypukłe kąty środkowe oparte na łukach wyznaczonych przez tę sieczną na okręgach mają równe miary.

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie P . Poprowadzono prostą, styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B (A ⁄= B ). Wykaż, że kąt ∡AP B jest prosty.

Ukryj Podobne zadania

Dwa okręgi są zewnętrznie styczne w punkcie C oraz są styczne do prostej k w punktach A i B odpowiednio (zobacz rysunek).

PIC

Uzasadnij, że trójkąt ABC jest prostokątny.

Okręgi o(A ,1) , o(B ,2) i o(C,R ) są parami styczne zewnętrznie. Oblicz R , jeśli ∡BAC = 90∘ .

Oblicz miary kątów środkowych AOB zaznaczonych na rysunkach, jeśli dana jest miara kąta wpisanego ∡ACB = α .

PIC

Średnica AB i cięciwa MN okręgu przecinają się w punkcie K . Kąt MKB ma miarę 78 ∘ , a kąt środkowy oparty na łuku BM ma miarę 4 8∘ . Wyznacz miarę kąta AMN .

Dane są 2 koła styczne zewnętrznie o promieniach R i r (R > r ) oraz środkach O 1 i O 2 . Do tych kół poprowadzono wspólną styczną, która jest styczna do tych okręgów w punktach S1 i S2 odpowiednio (S1 ⁄= S2 ). Oblicz pole trójkąta AO S 1 1 , gdzie A jest punktem przecięcia się prostych S S 1 2 i O 1O 2 .

PIC

Prosta DB jest styczna do okręgu w punkcie B . Oblicz miarę zaznaczonego kąta ∡ABD jeśli ∡ACB = α .

PIC

Punkty A , B , C dzielą okrąg na trzy łuki, których stosunek długości wynosi 2 : 3 : 4 . Oblicz miary kątów trójkąta ABC .

Ukryj Podobne zadania

Punkty A , B, C leżą na okręgu o środku O i dzielą ten okrąg na trzy łuki, których stosunek długości jest równy 3:4:5. Oblicz miary kątów trójkąta ABC .

PIC

Punkty P ,Q ,S dzielą okrąg na trzy łuki PQ ,QS i P S . Długości łuków P Q ,QS i PS pozostają w stosunku 1:2:3. Oblicz miary kątów trójkąta P QS .

Punkty A , B , C dzielą okrąg na trzy łuki, których stosunek długości wynosi 5 : 6 : 7 . Oblicz miary kątów trójkąta ABC .

Odległość między środkami okręgów o promieniach 2 i 7 wynosi 13. Prosta k jest styczna do obu okręgów w punktach A i B . Oblicz długość odcinka AB . Rozważ dwa przypadki.

Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a . Wykaż, że łuk okręgu opisanego na tym trójkącie zawarty między wierzchołkami B i C ma długość większą niż 120%a .

PIC

Ukryj Podobne zadania

Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a . Wykaż, że łuk okręgu wpisanego w ten trójkąt zawarty między dwoma kolejnymi punktami styczności tego okręgu z bokami trójkąta ma długość większą niż 60 %a .

ZINFO-FIGURE

Z punktu A leżącego na okręgu poprowadź cięciwę AC o długości równej promieniowi okręgu oraz średnicę AB . Wyznacz miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC .

Strona 5 z 6