Geometria/Zadania/Konkursy - zadania z matematyki

Odcinek jest środkową trójkąta ABC . Udowodnij, że |AB |+ |AC | > 2|AS | .

Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków i w punktach i odpowiednio. Na bokach i tego trójkąta wybrano punkty i w ten sposób, że odcinek jest styczny do okręgu wpisanego w trójkąt ABC (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |AP | = |AC | , 8 ⋅|BC | = 17⋅|P B| i 3⋅ |BK | = 25 ⋅|LQ | , to trójkąt BP Q jest rozwartokątny.

Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu wewnętrznego trójkąta od jego wierzchołków jest większa od połowy obwodu trójkąta.

Uzasadnij, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku. Jaka ﬁgurę otrzymamy, łącząc kolejno środki boków: a) rombu, b) prostokąta, c) kwadratu?

Na bokach i kwadratu ABCD o polu 1 wybrano punkty i w ten sposób, że |∡KBL | = 45∘ .

Oblicz odległość punktu od prostej .

Dwa okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie . Cięciwa większego okręgu jest styczna do mniejszego okręgu w punkcie . Oznaczmy przez A 1 i punkty przecięcia prostych i z mniejszym okręgiem. Udowodnić, że

prosta jest równoległa do prostej ;
prosta jest dwusieczną kąta .

W trapezie ABCD podstawa jest 3 razy dłuższa od podstawy . Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie , a proste zawierające ramiona i przecinają się w punkcie . Oblicz stosunek pola czworokąta DECF do pola trapezu ABCD .

W trójkącie ostrokątnym ABC prawdziwa jest równość 2 2 |BC | − |AC | = |AB |⋅|AC | . Wykaż, że kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC .

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie . Wiadomo, że trójkąty ABE i CDE mają równe pola, długość boku jest równa 4, a przekątna jest zawarta w dwusiecznej kąta . Oblicz długość boku .

Wykaż, że jeżeli α,β ,γ są kątami trójkąta, to

α β γ sinα + sin β + sin γ = 4co s--cos --cos -. 2 2 2

Wyznacz długości boków trójkąta wiedząc, że są one kolejnymi liczbami naturalnymi zaś największy kąt jest dwa razy większy od kąta najmniejszego.

Przez środek przyprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej . Prosta ta przecina proste i odpowiednio w punktach i . Wykaż, że |BC |2 = 4⋅ |DN |⋅ |DM | .

Trzy koła o promieniu 1 są parami styczne zewnętrznie. Oblicz pole obszaru zawartego między tymi kołami.

Ramiona kąta o mierze ∘ 60 przecięto prostą prostopadłą do jednego z ramion kąta i wpisano dwa koła styczne do obu ramion tego kąta i prostej . Oblicz stosunek pól tych kół.

Narysuj przekrój równoległościanu płaszczyzną PQR .

Na okręgu o środku wybrano punkty A ,B,C i w ten sposób, że prosta zawiera punkt , a proste i przecinają się w punkcie . Punkt jest punktem wspólnym prostych i . Wykaż, że proste i są prostopadłe.

Na bokach , i trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D ,E i . Wykaż, że okręgi opisane na trójkątach ADF , BED i CF E przecinają się w jednym punkcie.

Oblicz długość boku rombu wiedząc, że prosta poprowadzona przez jeden z jego wierzchołków odcina na przedłużeniach dwóch jego boków odcinki o długościach 4 i 9.

W prostokąt ABCD wpisany jest trójkąt równoboczny AKL (patrz rysunek). Wierzchołek leży na boku ( K ⁄= B i K ⁄= C ), wierzchołek leży na boku ( L ⁄= D i L ⁄= C ). Udowodnij, że pole powierzchni trójkąta KLC równe jest sumie pól trójkątów ABK i DLA .