Geometria/Zadania/Konkursy - zadania z matematyki

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny ABC o bokach długości |AB | = 8,|BC | = 6,|AC | = 10 jest styczny do boków i w punktach i . Proste i przecinają się punkcie . Oblicz pole trójkąta EBF .

Trójkąty równoboczne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku. Wykaż, że |AD | = |BE | .

Na ramionach i trójkąta równoramiennego ABC wybrano punkty i w ten sposób, że odcinek jest równoległy do podstawy i styczny do okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Wykaż, że pole trójkąta ABC jest równe

∘ ------------ |AB |2 |AB |⋅|P Q | --------------------. 2(|AB |− |P Q |)

Każdy kąt trójkąta ABC ma miarę mniejszą od ∘ 120 . Wyznacz taki punkt wewnątrz trójkąta ABC , dla którego suma |PA |+ |P B| + |PC | jest najmniejsza możliwa.

ZINFO-FIGURE

Na okręgu o promieniu opisano trapez, w którym |AB | = a i |CD | = b .

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że 4r2 ≤ ab .

W trapezie ABCD połączono środek ramienia trapezu z końcami drugiego ramienia . Wykaż, że pole powstałego trójkąta BMC jest równe połowie pola trapezu ABCD .

Z punktu należącego do boku trójkąta równobocznego ABC poprowadzono półprostą dzielącą trójkąt na dwie ﬁgury o równych polach. Oblicz tangens kąta jaki tworzy ta półprosta z odcinkiem , jeśli |AP | : |PB | = m i m ⁄= 1 .

Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku i średnicach odpowiednio i (punkty A ,B ,C,D i są współliniowe).

Punkt leży na wewnętrznym półokręgu, punkt leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O ,P i są współliniowe. Udowodnij, że |∡AP B |+ |∡CRD | = 1 80∘ .

Na przyprostokątnych i trójkąta prostokątnego ABC zbudowano, na zewnątrz trójkąta, kwadraty ACDE i BF GC . Odcinek przecina przyprostokątną w punkcie , a odcinek przecina przyprostokątną w punkcie (zobacz rysunek). Udowodnij, że |KC | = |LC | .

W trójkącie równoramiennym ABC , w którym |AC | = |BC | wysokość jest dwa razy dłuższa od wysokości (patrz rysunek). Oblicz kosinusy wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ABC .

W trójkącie równobocznym ABC o wysokości obrano punkt , z którego poprowadzono odcinki prostopadłe do boków tego trójkąta. Wykaż, że suma długości tych odcinków jest równa .

Trójkąt ABC jest podstawą ostrosłupa ABCS . Punkt jest środkiem boku i |AM | = |MC | . Odcinek jest wysokością tego ostrosłupa. Wykaż, że kąt SCB jest prosty.

Wykaż, że trójkąt, którego długości boków są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, miary kątów zaś trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest trójkątem równobocznym.

Na przyprostokątnych i trójkąta prostokątnego równoramiennego ABC zaznaczono odpowiednio punkty i tak, że |AK-|= |CL-|= 1 |KB | |LA | 2 . Odcinki i przecinają się w punkcie . Oblicz |MB | |MK-| .

Wykaż, że jeżeli długości a ,b,c boków trójkąta spełniają równość

1 1 3 ------+ ----- = ---------, a+ b b + c a+ b+ c

to promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy b√3- 3 .

Wewnątrz trójąta ABC obrano punkt odległy od prostych BC ,CA i odpowiednio o x,y ,z . Wykaż że

2 xyz ≤ 2S--, 27R

gdzie jest polem trójkąta, a promieniem okręgu opisanego. Dla jakich punktów zachodzi równość?

Odcinki i są równoległe do boku trójkąta ABC , a odcinki i są równoległe do boku . Uzasadnij, że jeżeli |CF|= |CH| |FG | |HA| , to 2 |AD | = |DE |⋅|DB | .

Trzy okręgi o promieniach 2, 4 i 6 są parami zewnętrznie styczne. Oblicz długość promienia okręgu zawierającego punkty styczności tych okręgów.

Podstawy trapezu mają długości i ( a > b ). Suma miar kątów wewnętrznych przy dłuższej podstawie wynosi 90∘ . Oblicz długość odcinka łączącego środki podstaw trapezu.

Podstawy trapezu ABCD mają długości AB = a i CD = b . Na ramionach trapezu wybrano punkty i w ten sposób, że odcinek jest równoległy do podstaw oraz AKKD- = pq . Oblicz długość odcinka .

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Konkursy/Zadania/Geometria