Dowolny/Trójkąt/Planimetria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny

Proste zawierające wysokości trójkąta ostrokątnego ABC przecinają boki , i tego trójkąta odpowiednio w punktach , i . Wykaż, że jeżeli trójkąt MLK jest podobny do trójkąta ABC , to trójkąt ABC jest równoboczny.

Punkt jest punktem wspólnym wysokości trójkąta ostrokątnego ABC wpisanego w okrąg o promieniu 12. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ABH .

Oblicz pole trójkąta ABC przedstawionego na rysunku, jeśli wiadomo, że |BC | = 10 oraz √ - √- sin 15∘ = --2(-3−1) 4 .

Wysokości w pewnym trójkącie ABC mają długości: 1 1 1 3,4, 5 . Wykaż, że jest to trójkąt prostokątny.

Dane są dwa trójkąty: ABC oraz ′ ′ ′ A B C takie, że ′ α = α oraz ′ β + β = 180 .

Wykaż, że:

′ ′ |AC--|= |A-C-|. |BC | |B′C′|

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki , i tego trójkąta w punktach – odpowiednio – , oraz . Punkt jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach CLP K oraz BKP M można opisać okrąg. Udowodnij, że trójkąt ABC jest równoboczny.

Wykaż, że jeżeli α,β ,γ są kątami wewnętrznymi trójkąta i 2 2 2 sin α+ sin β < sin γ , to cos γ < 0 .

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że jeżeli α ≤ β ≤ γ są kątami wewnętrznymi trójkąta rozwartokątnego, to

sin2 α < sin2γ − sin2 β.

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50∘ . Oblicz kąty tego trójkąta.

Ukryj Podobne zadania

Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od drugiego oraz o ∘ 3 7 większy od trzeciego kąta. Oblicz miary wszystkich kątów tego trójkąta.

Jeden z kątów trójkąta jest cztery razy mniejszy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o . Oblicz kąty tego trójkąta.

Jeden z kątów trójkąta jest cztery razy większy od drugiego oraz o ∘ 36 mniejszy od trzeciego kąta. Oblicz miary wszystkich kątów tego trójkąta.

Długości boków trójkąta są w stosunku 2 : 3 : 4. Oblicz wartość wyrażenia

1 1 ---- + ----, tg α tg β

gdzie oznacza największy, a najmniejszy kąt tego trójkąta.

W trójkącie ABC dwusieczna kąta BAC przecina bok trójkąta w punkcie . Wykaż, że

BD-- = AB-. DC AC

W trójkącie ABC poprowadzono odcinki AD ,BE i w ten sposób, że punkty D ,E i są środkami odpowiednio odcinków BE ,CF i . Oblicz pole trójkąta ABC jeżeli pole trójkąta DEF jest równe 2.

Trójkąty ABC i DEF wpisano w ten sam okrąg. Udowodnij, że równość obwodów tych trójkątów jest równoważna równości sum sinusów ich kątów wewnętrznych.

W trójkącie ABC dane są kąt ∘ |∡ACB | = 12 0 , |AC | = 6 i |BC | = 3 . Dwusieczna kąta ∡ACB przecina bok w punkcie .

Oblicz długość odcinka .
Jaki jest związek miedzy długościami promieni: okręgu opisanego na trójkącie i okręgu opisanego na trójkącie ? Odpowiedź uzasadnij.

W trójkącie ABC miara kąta ACB jest dwa razy większa od miary kąta CAB . Dwusieczna kąta ACB dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty. Uzasadnij, że jeden z otrzymanych trójkątów jest podobny do trójkąta ABC .

Miary kątów trójkąta ABC są równe α = |∡BAC | , β = |∡ABC | i γ = |∡ACB | . Punkt jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki i przecinają boki i tego trójkąta w punktach odpowiednio i (zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli α + β = 2γ , to na czworokącie DCES można opisać okrąg.

Dany jest trójkąt ABC , w którym |BC | = a . Z wierzchołka poprowadzono środkową do boku . Punkt jest środkiem odcinka . Przez punkty i poprowadzono prostą, która przecięła bok w punkcie . Wykaż, że długość odcinka jest równa 2a 3 .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt ABC oraz punkt na jego boku taki, że 2 |AD | = 3|AB | . Z wierzchołka poprowadzono środkową do boku . Punkt jest punktem wspólnym odcinków i . Wykaż, że punkt jest środkiem odcinka .

Wykaż, że jeżeli trójkąt nie jest rozwartokątny, oraz miara jednego z jego kątów spełnia warunek sin α + cos α ≤ s2icno2sα2−α2 to trójkąt ten jest prostokątny.

Wierzchołek trójkąta ostrokątnego ABC połączono odcinkiem ze środkiem okręgu opisanego. Z wierzchołka poprowadzono wysokość . Wykaż, że ∡BAH = ∡OAC .

Trójkąt o bokach 6, 8 i 10 jest podobny do trójkąta o obwodzie 216. Oblicz długości boków drugiego trójkąta.

Ukryj Podobne zadania

Trójkąt o bokach 12, 9 i 15 jest podobny do trójkąta o obwodzie 108. Oblicz długości boków drugiego trójkąta.

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku . Kąty wewnętrzne CAB , ABC i BCA tego trójkąta są równe, odpowiednio, α, 2α i . Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB , ASC i BSC tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Strona 4 z 11