Długość/Udowodnij/Okrąg i koło - zadania z matematyki

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Udowodnij

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij/Długość

Wyszukiwanie zadań

Dane są trzy okręgi $o1$ , $o2$ i $o3$ . Okręgi $o1$ , $o2$ są styczne zewnętrznie, jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu $o3$ (patrz rysunek). Promienie okręgów $o1$ i $o2$ są odpowiednio równe $r1$ i $r2$ , a środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej. Uzasadnij, że długość odcinka $EF$ jest równa $√ ---- 4 r1r2$ , gdzie odcinek $EF$ jest cięciwą okręgu $o 3$ i zawiera się we wspólnej stycznej okręgów $o1$ i $o2$ .

Rozwiązanie (1136830)

Prosta $CD$ jest styczna do okręgu w punkcie $C$ . Uzasadnij, że jeśli $|BC | = |BD |$ , to $|AC | = |CD |$ .

Rozwiązanie (3432574)

Na rysunku okręgi o środkach $B$ i $C$ są styczne zewnętrznie i jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o środku w punkcie $A$ . Wykaż, że jeśli $|BC | = |AC |$ , to długość odcinka $AB$ jest równa długości średnicy okręgu o środku w punkcie $C$ .

Rozwiązanie (4030677)

Okręgi o środkach odpowiednio $A$ i $B$ są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku $A$ jest równy 2.

Uzasadnij, że promień okręgu o środku $B$ jest mniejszy od $√ -- 2− 1$ .

Rozwiązanie (5334642)

Ukryj

Okręgi o środkach odpowiednio $A$ i $B$ są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku $A$ jest równy 1.

Uzasadnij, że promień okręgu o środku $B$ jest większy niż $√ -- 2+ 2 2$ .

Rozwiązanie (2923061)

Okrąg dopisany do boku $AB$ trójkąta $ABC$ to okrąg, który jest jednocześnie styczny do tego boku, oraz do przedłużeń boków $AC$ i $BC$ .

Wykaż, że jeżeli $M$ jest punktem styczności tego okręgu z przedłużeniem boku $AC$ to długość odcinka $CM$ jest równa połowie obwodu trójkąta $ABC$ .

Rozwiązanie (6013926)

Na okręgu o promieniu $r$ wybrano punkty $M$ i $N$ w ten sposób, że proste $AM$ i $AN$ są styczne do okręgu. Punkt $B$ jest punktem wspólnym odcinka $MN$ i prostej łączącej $A$ ze środkiem $S$ tego okręgu. Wykaż, że $|SA |⋅|SB | = r2$ .

Rozwiązanie (6385719)

Z półokręgów budujemy krzywą (patrz rysunek). Pierwszy półokrąg ma promień długości $r,r > 0$ , a promień każdego następnego półokręgu stanowi $23$ promienia poprzedniego. Niech $n$ oznacza liczbę półokręgów tworzących tę krzywą. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej $n$ długość krzywej jest mniejsza od $3πr$ .

Rozwiązanie (7036046)

Trójkąt $ABC$ jest trójkątem równobocznym o boku długości $a$ . Wykaż, że łuk okręgu opisanego na tym trójkącie zawarty między wierzchołkami $B$ i $C$ ma długość większą niż $120%a$ .

Rozwiązanie (9508382)

Ukryj

Trójkąt $ABC$ jest trójkątem równobocznym o boku długości $a$ . Wykaż, że łuk okręgu wpisanego w ten trójkąt zawarty między dwoma kolejnymi punktami styczności tego okręgu z bokami trójkąta ma długość większą niż $60 %a$ .

Rozwiązanie (1734379)

Dwa okręgi o środkach $A$ i $B$ są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy $3 + 2√ 2-$ .

Rozwiązanie (9768882)

Ukryj

Dwa okręgi o środkach $A$ i $B$ są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek obwodu większego z tych okręgów do obwodu mniejszego jest równy $3 + 2√ 2-$ .

Rozwiązanie (5351690)

Do dwóch okręgów przecinających się w punktach $A$ i $B$ poprowadzono wspólną styczną $MN$ , przy czym punkt $M$ należy do pierwszego, a punkt $N$ do drugiego okręgu. Wykaż, że prosta $AB$ dzieli odcinek $MN$ na połowy.

Rozwiązanie (9839889)

Legalni bukmacherzy