Dane są trzy okręgi ,
i
. Okręgi
,
są styczne zewnętrznie, jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu
(patrz rysunek). Promienie okręgów
i
są odpowiednio równe
i
, a środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej. Uzasadnij, że długość odcinka
jest równa
, gdzie odcinek
jest cięciwą okręgu
i zawiera się we wspólnej stycznej okręgów
i
.
Na rysunku okręgi o środkach i
są styczne zewnętrznie i jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o środku w punkcie
. Wykaż, że jeśli
, to długość odcinka
jest równa długości średnicy okręgu o środku w punkcie
.
Okręgi o środkach odpowiednio i
są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku
jest równy 2.
Uzasadnij, że promień okręgu o środku jest mniejszy od
.
Okręgi o środkach odpowiednio i
są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku
jest równy 1.
Uzasadnij, że promień okręgu o środku jest większy niż
.
Okrąg dopisany do boku trójkąta
to okrąg, który jest jednocześnie styczny do tego boku, oraz do przedłużeń boków
i
.
Wykaż, że jeżeli jest punktem styczności tego okręgu z przedłużeniem boku
to długość odcinka
jest równa połowie obwodu trójkąta
.
Na okręgu o promieniu wybrano punkty
i
w ten sposób, że proste
i
są styczne do okręgu. Punkt
jest punktem wspólnym odcinka
i prostej łączącej
ze środkiem
tego okręgu. Wykaż, że
.
Z półokręgów budujemy krzywą (patrz rysunek). Pierwszy półokrąg ma promień długości , a promień każdego następnego półokręgu stanowi
promienia poprzedniego. Niech
oznacza liczbę półokręgów tworzących tę krzywą. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej
długość krzywej jest mniejsza od
.
Trójkąt jest trójkątem równobocznym o boku długości
. Wykaż, że łuk okręgu opisanego na tym trójkącie zawarty między wierzchołkami
i
ma długość większą niż
.
Dwa okręgi o środkach i
są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy
.
Dwa okręgi o środkach i
są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek obwodu większego z tych okręgów do obwodu mniejszego jest równy
.
Do dwóch okręgów przecinających się w punktach i
poprowadzono wspólną styczną
, przy czym punkt
należy do pierwszego, a punkt
do drugiego okręgu. Wykaż, że prosta
dzieli odcinek
na połowy.