Długość/Udowodnij/Okrąg i koło - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Udowodnij/Długość

Dane są trzy okręgi , i . Okręgi , są styczne zewnętrznie, jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu (patrz rysunek). Promienie okręgów i są odpowiednio równe i , a środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej. Uzasadnij, że długość odcinka jest równa √ ---- 4 r1r2 , gdzie odcinek jest cięciwą okręgu o 3 i zawiera się we wspólnej stycznej okręgów i .

Prosta jest styczna do okręgu w punkcie . Uzasadnij, że jeśli |BC | = |BD | , to |AC | = |CD | .

ZINFO-FIGURE

Na rysunku okręgi o środkach i są styczne zewnętrznie i jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o środku w punkcie . Wykaż, że jeśli |BC | = |AC | , to długość odcinka jest równa długości średnicy okręgu o środku w punkcie .

Okręgi o środkach odpowiednio i są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku jest równy 2.

Uzasadnij, że promień okręgu o środku jest mniejszy od √ -- 2− 1 .

Ukryj Podobne zadania

Okręgi o środkach odpowiednio i są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku jest równy 1.

Uzasadnij, że promień okręgu o środku jest większy niż √ -- 2+ 2 2 .

Okrąg dopisany do boku trójkąta ABC to okrąg, który jest jednocześnie styczny do tego boku, oraz do przedłużeń boków i .

Wykaż, że jeżeli jest punktem styczności tego okręgu z przedłużeniem boku to długość odcinka jest równa połowie obwodu trójkąta ABC .

Na okręgu o promieniu wybrano punkty i w ten sposób, że proste i są styczne do okręgu. Punkt jest punktem wspólnym odcinka i prostej łączącej ze środkiem tego okręgu. Wykaż, że |SA |⋅|SB | = r2 .

Z półokręgów budujemy krzywą (patrz rysunek). Pierwszy półokrąg ma promień długości r,r > 0 , a promień każdego następnego półokręgu stanowi promienia poprzedniego. Niech oznacza liczbę półokręgów tworzących tę krzywą. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej długość krzywej jest mniejsza od 3πr .

Dany jest okrąg . Przez punkt poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – oraz . Przez punkt leżący na odcinku poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie , która przecięła odcinek w punkcie (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |AQ | = 5 ⋅|BP | oraz |CD | = 2 ⋅|BD | , to trójkąt ABC jest równoramienny.

Ukryj Podobne zadania

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |AQ | = 6 ⋅|BP | oraz |CD | = 3 ⋅|BD | , to trójkąt ABC nie jest równoramienny.

Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości . Wykaż, że łuk okręgu opisanego na tym trójkącie zawarty między wierzchołkami i ma długość większą niż 120%a .

Ukryj Podobne zadania

Trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości . Wykaż, że łuk okręgu wpisanego w ten trójkąt zawarty między dwoma kolejnymi punktami styczności tego okręgu z bokami trójkąta ma długość większą niż 60 %a .

ZINFO-FIGURE

Dwa okręgi o środkach i są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy 3 + 2√ 2- .

Ukryj Podobne zadania

Dwa okręgi o środkach i są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek obwodu większego z tych okręgów do obwodu mniejszego jest równy 3 + 2√ 2- .

Do dwóch okręgów przecinających się w punktach i poprowadzono wspólną styczną , przy czym punkt należy do pierwszego, a punkt do drugiego okręgu. Wykaż, że prosta dzieli odcinek na połowy.