Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Dane są dwa trójkąty: ABC oraz  ′ ′ ′ A B C takie, że  ′ α = α oraz  ′ β + β = 180 .


PIC


Wykaż, że:

 ′ ′ |AC--|= |A-C-|. |BC | |B′C′|

Wykaż, że jeżeli α,β ,γ są kątami wewnętrznymi trójkąta i  2 2 2 sin α+ sin β < sin γ , to cos γ < 0 .

*Ukryj

Wykaż, że jeżeli α ≤ β ≤ γ są kątami wewnętrznymi trójkąta rozwartokątnego, to

sin2 α < sin2γ − sin2 β.

W trójkącie ABC dwusieczna kąta BAC przecina bok BC trójkąta w punkcie D . Wykaż, że

BD-- = AB-. DC AC

Trójkąty ABC i DEF wpisano w ten sam okrąg. Udowodnij, że równość obwodów tych trójkątów jest równoważna równości sum sinusów ich kątów wewnętrznych.

W trójkącie ABC miara kąta ACB jest dwa razy większa od miary kąta CAB . Dwusieczna kąta ACB dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty. Uzasadnij, że jeden z otrzymanych trójkątów jest podobny do trójkąta ABC .

Miary kątów trójkąta ABC są równe α = |∡BAC | , β = |∡ABC | i γ = |∡ACB | . Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki AS i BS przecinają boki BC i AC tego trójkąta w punktach odpowiednio D i E (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że jeżeli α + β = 2γ , to na czworokącie DCES można opisać okrąg.

Dany jest trójkąt ABC , w którym |BC | = a . Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do boku AC . Punkt S jest środkiem odcinka BD . Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która przecięła bok BC w punkcie P . Wykaż, że długość odcinka CP jest równa 2a 3 .

*Ukryj

Dany jest trójkąt ABC oraz punkt D na jego boku AB taki, że  2 |AD | = 3|AB | . Z wierzchołka B poprowadzono środkową BE do boku AC . Punkt P jest punktem wspólnym odcinków CD i BE . Wykaż, że punkt P jest środkiem odcinka BE .

Wykaż, że jeżeli trójkąt nie jest rozwartokątny, oraz miara α jednego z jego kątów spełnia warunek sin α + cos α ≤ s2icno2sα2−α2 to trójkąt ten jest prostokątny.

Wierzchołek A trójkąta ostrokątnego ABC połączono odcinkiem ze środkiem O okręgu opisanego. Z wierzchołka A poprowadzono wysokość AH . Wykaż, że ∡BAH = ∡OAC .

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S . Kąty wewnętrzne CAB , ABC i BCA tego trójkąta są równe, odpowiednio, α, 2α i 4α . Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB , ASC i BSC tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

W trójkącie ABC przedłużono bok AB poza wierzchołek B i odłożono odcinek BD taki, że |BD | = |BC | . Następnie połączono punkty C i D (rysunek). Wykaż, że |∡CDA | = 12|∡CBA | .


PIC


*Ukryj

W trójkącie ABC przedłużono bok BC poza wierzchołek C i odłożono odcinek CD taki, że |CD | = |AC | . Następnie połączono punkty A i D (rysunek). Wykaż, że |∡ADB | = 12|∡ACB | .


PIC


Uzasadnij wzór na pole trójkąta  h2sin(α+β)- P = 2sin αsin β , gdzie α i β są miarami kątów trójkąta przyległych do boku, na który opuszczono wysokość h .

Wiedząc, że punkt E jest środkiem odcinka AD , a punkt C jest środkiem odcinka BE oraz |AC | = |AE | , wykaż, że |AB | = |CD | .


PIC


W trójkącie ABC na boku BC zaznaczono punkt D , na boku AC zaznaczono punkt E , na boku AB punkt F . Poprowadzono okręgi oA , oB , oC , w ten sposób, że do okręgu oA należą punkty A , E , F , do oB – punkty B , D , F , a do o C – punkty C , D , E . Wykaż, że te trzy okręgi przecinają się w jednym punkcie.

*Ukryj

Okrąg o1 przechodzi przez wierzchołek B trójkąta ABC i przecina jego boki AB i BC odpowiednio w punktach F i D . Okrąg o2 przechodzi przez wierzchołek C , przecina okrąg o1 w punkcie D oraz w punkcie G leżącym wewnątrz trójkąta ABC . Ponadto okrąg o 2 przecina bok AC trójkąta w punkcie E .


PIC


Udowodnij, że punkt G leży na okręgu opisanym na trójkącie AF E .

Punkty K i M oraz L i N dzielą odpowiednio boki AC i BC trójkąta ABC w stosunku 1 : 1 : 2 (zobacz rysunek). Odcinki KN i LM przecinają się w punkcie S .


PIC


Uzasadnij, że pola trójkątów KMS i LNS są równe.

Wykaż, że jeżeli α,β ,γ są kątami wewnętrznymi trójkąta i  2 2 2 sin α+ sin β = 5sin γ , to sin γ ≤ 35 .

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i B . Dwusieczne te przecinają się w punkcie P . Uzasadnij, że kąt AP B jest rozwarty.

*Ukryj

W trójkącie ostrokątnym ABC proste AH i BH zawierają wysokości poprowadzone z wierzchołków A i B . Uzasadnij, że kąt AHB jest rozwarty.

Dany jest trójkąt ABC . Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta, punkt E jest środkiem boku BC (tak jak na rysunku) i |CD | = |DE | . Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny.


PIC


Wykaż, że jeżeli kąty trójkąta: α,β,γ spełniają równanie  2 2 2 sin α = sin β + sin γ to trójkąt jest prostokątny.

Wykaż, że jeżeli środkowa trójkąta jest dwa razy krótsza od boku, do którego jest poprowadzona, to trójkąt ten jest prostokątny.

<Strona 2 z 5>>>>