Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij...

Wyszukiwanie zadań

Przez środek S okręgu wpisanego w trójkąt ABC poprowadzono prostą równoległą do boku AB , która przecina boki CA i CB odpowiednio w punktach E i D .
Wykaż, że |ED | = |EA |+ |DB | .

PIC

W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość c , długość boku AC jest równa b oraz |∡BAC | = α . Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC trójkąta w punkcie D i odcinek AD ma długość d . Wykaż, że

α- -d- d-- co s2 = 2b + 2c.

W trójkącie ABC poprowadzono odcinki AD ,BE i CF w ten sposób, że punkty D ,E i F są środkami odpowiednio odcinków BE ,CF i AD . Wykaż, że pole trójkąta DEF jest siedem razy mniejsze od pola trójkąta ABC .

PIC

Na bokach trójkąta ABC zbudowano kwadraty ABKL , BCMN i CAOP (zobacz rysunek).

PIC

Kąty BAC i ABC są ostre oraz suma ich tangensów jest równa 52 . Wykaż, że jeżeli pole kwadratu ABKL jest pięć razy większe od pola trójkąta ABC , to suma pól kwadratów BCMN i CAOP też jest pięć razy większa od pola trójkąta ABC .

Wykaż, że istnieją dokładnie dwie liczby naturalne n takie, że trójkąt o bokach n ,n+ 2,n + 3 jest rozwartokątny.

Wykaż, że jeżeli α i β są kątami trójkąta oraz 2 2 2 sin α = sin β + sin (α + β ) to trójkąt ten jest prostokątny.

Dany jest trójkąt ABC , w którym |AC | > |BC | . Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty D i E , że zachodzi równość |CD | = |CE | . Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że |∡BAC | = |∡ABC |− 2 |∡AF D | .

PIC

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt ABC , w którym |AC | > |BC | . Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty D i E , że zachodzi równość |CE | = |DE | . Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że |∡BCA | = |∡BAC |+ |∡AF D | .

PIC

Wykaż, że jeśli a,b,c są długościami boków trójkąta ostrokątnego takimi, że a < b < c oraz α,β,γ są miarami kątów tego trójkąta leżącymi odpowiednio na przeciwko boków a,b,c , to tg α < tg β < tgγ .

W trójkącie ABC połączono środki boków i otrzymano trójkąt ′ ′ ′ A B C . Uzasadnij, że trójkąty ABC i A′B ′C ′ są podobne.

Ukryj Podobne zadania

Punkty ′ ′ ′ A ,B ,C są środkami odpowiednio boków BC ,CA ,AB trójkąta ABC . Uzasadnij, że trójkąt A′B ′C ′ jest przystający do trójkąta AB ′C′ .

Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC | > |BC | . Dwusieczna dC kąta ACB przecina bok AB w punkcie K . Punkt L jest obrazem punktu K w symetrii osiowej względem dwusiecznej dA kąta BAC , punkt M jest obrazem punktu L w symetrii osiowej względem dwusiecznej d C kąta ACB , a punkt N jest obrazem punktu M w symetrii osiowej względem dwusiecznej dB kąta ABC (zobacz rysunek).

PIC

Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.

Ukryj Podobne zadania

Na bokach AB , BC i CA trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty K,L i M w ten sposób, że |BK | = |BL | i |CL | = |CM | . Okrąg opisany na trójkącie KLM przecina bok AB tego trójkąta w punkcie N takim, że |AN | < |AK | (zobacz rysunek).

PIC

Udowodnij, że |AN | = |AM | .

W trójkącie ABC bok AC ma długość b , |∡BAC | = α oraz |∡ABC | = β . Wykaż, że pole trójkąta ABC jest równe

2 2 2 b-sin--α-+ b--sin-2α-. 2 tgβ 4

Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek sinβ+-sinγ- sin α = cosβ+ cos γ to trójkąt ten jest prostokątny.

Prosta k równoległa do boku AB trójkąta ABC przecina boki AC oraz BC odpowiednio w punktach D i E (zobacz rysunek). Wiadomo, że pole trójkąta DEC wynosi 4 cm 2 , zaś pole trapezu ABED jest równe 8 cm 2 . Wykaż, że |AD-| √ -- |DC | = 3− 1 .

PIC

Ukryj Podobne zadania

Prosta k równoległa do boku AB trójkąta ABC przecina boki AC oraz BC odpowiednio w punktach D i E (zobacz rysunek). Wiadomo, że pole trójkąta DEC wynosi 2 cm 2 , zaś pole trapezu ABED jest równe 8 cm 2 . Wykaż, że |AD-| √ -- |DC | = 5− 1 .

PIC

Udowodnij, że jeżeli w trójkącie dwa kąty nie są równe, to naprzeciw większego z nich leży dłuższy bok.

Wykaż, że pole trójkąta o bokach a,b,c i promieniu R okręgu opisanego na nim jest równe a4bRc .

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że pole trójkąta ABC jest równe 2 P = 2R ⋅sin α ⋅sinβ ⋅sin γ , gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie, a α,β i γ są miarami kątów wewnętrznych tego trójkąta.

Dany jest trójkąt ABC . Punkt S jest środkiem boku AB tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów A i B od prostej CS są równe.

PIC

Ukryj Podobne zadania

Na boku AB trójkąta ABC wybrano punkt D w ten sposób, że odległości punktów A i B od prostej CD są równe (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty ADC i BDC mają równe pola.

PIC

Odcinki AK i BL są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC , a punkt S jest punktem ich przecięcia. Uzasadnij, że:

  • na czworokącie ABKL można opisać okrąg;
  • okręgi opisane na trójkątach ABC i ABS mają promienie równej długości.

Pole trójkąta ABC jest równe S , a długości jego boków AC i BC są odpowiednio równe b i a . Na bokach AC i BC zbudowano kwadraty o środkach odpowiednio D i E .

PIC

Wykaż, że

2 2 DE 2 = a--+-b- + 2S . 2

Na bokach AC i BC trójkąta ABC obrano punkty P i Q takie, że |AP | : |PC | = 2 : 1 oraz |BQ | : |QC | = 2 : 1 . Odcinki AQ i BP przecinają się w punkcie R . Wykaż, że pole czworokąta CP RQ jest równe polu trójkąta ARP .

Strona 1 z 5