Udowodnij.../Dowolny/Trójkąt - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij...

W trójkącie ABC punkt jest środkiem okręgu wpisanego, a punkty KLM są punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt z bokami BC ,CA i odpowiednio.

Uzasadnij, że na czworokącie można opisać okrąg.
Wiedząc, że oraz oblicz miary kątów trójkąta .

Wykaż, że jeżeli α,β ,γ są kątami trójkąta, to

α β γ sinα + sin β + sin γ = 4co s--cos --cos -. 2 2 2

W trójkącie ABC środkowa jest prostopadła do boku . Kąt BAC ma miarę 120∘ . Wykaż, że |AB | = 2|AC | .

Środkowa trójkąta ABC ma długość równą połowie długości boku oraz |BC | ≤ 2 . Wykaż, że |AB | ⋅|AC | ≤ 2 .

Na bokach , i trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D ,E i . Wykaż, że okręgi opisane na trójkątach ADF , BED i CF E przecinają się w jednym punkcie.

W trójkącie ABC środkowe i są prostopadłe. Wykaż, że ( ) |AB |2 = 15 |BC |2 + |AC |2 .

Wykaż, że jeśli a,b są długościami boków trójkąta ostrokątnego takimi, że a < b oraz α ,β są miarami kątów tego trójkąta leżącymi odpowiednio naprzeciwko boków a,b , to α < β .

W trójkącie ABC punkt jest środkiem okręgu wpisanego, a punkty i są punktami styczności tego okręgu z bokami i odpowiednio. Wykaż, że punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie AMN .

Wykaż, że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta leżącymi naprzeciwko odpowiednio kątów o miarach α ≤ β ≤ γ to a ≤ b ≤ c .

Każdy kąt trójkąta ABC ma miarę mniejszą niż ∘ 120 . Udowodnij, że wewnątrz trójkąta ABC istnieje punkt taki, że

|∡AP B| = |∡BP C| = |∡CPA | = 120∘.

Dwa boki trójkąta ostrokątnego wpisanego w okrąg o promieniu mają długości 32R i √ -- R 3 . Wykaż, że długość trzeciego boku wynosi --- R-(3+ √ 21) 4 .

Ukryj Podobne zadania

Trzy cięciwy okręgu o promieniu tworzą trójkąt wpisany w ten okrąg. Dwie najkrótsze z tych cięciw mają długości 12r i √ -- r 3 . Wykaż, że trzecia cięciwa ma długość - 1+-3√5 4 r .

Wykaż, że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta to 2 2 1 2 a + b > 2c .

Ukryj Podobne zadania

Na bokach trójkąta zbudowano kwadraty o polach P 1,P 2 i (zobacz rysunek)

Wykaż, że P 1 + P 2 > 12P3 .

Styczna w punkcie do okręgu opisanego na trójkącie ABC przecina prostą w punkcie . Niech będzie punktem przecięcia dwusiecznej kąta z prostą . Udowodnić, że AE = ED .

W trójkącie ABC , o bokach długości a,b ,c , połączono odcinkiem wierzchołek z punktem na boku takim, że BE = p i EC = q . Uzasadnij, że jeżeli d = AE , to a(d2 + pq) = b2p + c2q (twierdzenie Stewarta).

Dany jest trójkąt ABC . Na boku tego trójkąta obrano punkty D ,E i tak, że |AD | = |DE | = |EF| = 2|F B| . Na bokach i obrano – odpowiednio – punkty i tak, że DG ∥ EC oraz FH ∥ EC (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta F BH jest równe , to pole trójkąta ADG jest równe .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt ABC . Na boku tego trójkąta obrano punkty D ,E i tak, że |AD | = |DE | = |EF| = 3|F B| . Na bokach i obrano – odpowiednio – punkty i tak, że DG ∥ EC oraz FH ∥ EC (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta ADG jest równe , to pole trójkąta F BH jest równe 1 6S .