W trójkącie środkowa jest prostopadła do boku . Kąt ma miarę . Wykaż, że .
/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij...
Środkowa trójkąta ma długość równą połowie długości boku oraz . Wykaż, że .
Na bokach , i trójkąta wybrano odpowiednio punkty i . Wykaż, że okręgi opisane na trójkątach , i przecinają się w jednym punkcie.
W trójkącie środkowe i są prostopadłe. Wykaż, że .
Wykaż, że jeśli są długościami boków trójkąta ostrokątnego takimi, że oraz są miarami kątów tego trójkąta leżącymi odpowiednio naprzeciwko boków , to .
W trójkącie punkt jest środkiem okręgu wpisanego, a punkty i są punktami styczności tego okręgu z bokami i odpowiednio. Wykaż, że punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie .
Wykaż, że jeżeli są długościami boków trójkąta leżącymi naprzeciwko odpowiednio kątów o miarach to .
Dwa boki trójkąta ostrokątnego wpisanego w okrąg o promieniu mają długości i . Wykaż, że długość trzeciego boku wynosi .
Trzy cięciwy okręgu o promieniu tworzą trójkąt wpisany w ten okrąg. Dwie najkrótsze z tych cięciw mają długości i . Wykaż, że trzecia cięciwa ma długość .
Wykaż, że jeżeli są długościami boków trójkąta to .
Na bokach trójkąta zbudowano kwadraty o polach i (zobacz rysunek)
Wykaż, że .
Styczna w punkcie do okręgu opisanego na trójkącie przecina prostą w punkcie . Niech będzie punktem przecięcia dwusiecznej kąta z prostą . Udowodnić, że .
W trójkącie , o bokach długości , połączono odcinkiem wierzchołek z punktem na boku takim, że i . Uzasadnij, że jeżeli , to (twierdzenie Stewarta).
Dany jest trójkąt . Na boku tego trójkąta obrano punkty i tak, że . Na bokach i obrano – odpowiednio – punkty i tak, że oraz (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta jest równe , to pole trójkąta jest równe .
Dany jest trójkąt . Na boku tego trójkąta obrano punkty i tak, że . Na bokach i obrano – odpowiednio – punkty i tak, że oraz (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta jest równe , to pole trójkąta jest równe .
Wykaż, że jeśli i są kątami trójkąta oraz to trójkąt ten jest równoramienny lub prostokątny.
Kąty w trójkącie mają miary: . Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają równość: .
Punkty i są środkami boków i trójkąta . Odcinki i przecinają się w punkcie .
Uzasadnij, że pola trójkątów i są równe.
Punkt jest punktem przecięcia się wysokości trójkąta ostrokątnego . Wykaż, że jeżeli to .
Środkowa trójkąta jest równa połowie boku, do którego została poprowadzona. Wykaż, że trójkąt ten jest prostokątny.
W trójkącie ostrokątnym dane są i . Wykaż, że tangens kąta utworzonego przez środkową i wysokość opuszczone z wierzchołka jest równy
Na boku trójkąta wybrano punkt tak, by . Odcinek jest dwusieczną kąta . Udowodnij, że .
Na bokach i trójkąta wybrano odpowiednio punkty i w ten sposób, że . Punkt jest środkiem odcinka . Przez punkty i poprowadzono proste równoległe do , które wyznaczyły na boku punkty i odpowiednio (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli , to .