Zadania na ekstremum/Geometria analityczna - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty ABCD , których wierzchołki i leżą na wykresie funkcji określonej wzorem f (x) = 271x4 dla x ⁄= 0 . Punkty i leżą na wykresie funkcji określonej wzorem g(x) = − 2x4 − 7 5 9 i są położone symetrycznie względem osi (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołka , dla którego pole prostokąta ABCD jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Na prostej l : x + y − 6 = 0 wyznacz taki punkt , aby długość łamanej ACB , gdzie A (1,3) , B (2,2) , była najmniejsza. Uzasadnij swoje rozumowanie.

Rozważamy prostokąty, których dwa wierzchołki leżą na odcinku łączącym punkty wspólne osi i paraboli o równaniu y = x2 − 6x + 5 , a dwa należą do tej paraboli. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego prostokąta, który ma największy obwód.

Na wykresie funkcji 1 4 3 2 y = 4x − x − 5x + 22x + 50 znajdź współrzędne punktu , którego odległość od prostej o równaniu y = −2x − 22 jest najmniejsza.

Ukryj Podobne zadania

Na wykresie funkcji 1 4 3 2 y = 4x + x − 5x − 22x + 50 znajdź współrzędne punktu , którego odległość od prostej o równaniu y = 2x− 22 jest najmniejsza.

W układzie współrzędnych dane są punkty A = (− 3,− 1) i B = (4,6 ) . Na wykresie funkcji √ -- y = 3 x − 1 znajdź taki punkt , dla którego pole trójkąta ABC jest najmniejsze.

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz (zobacz rysunek).

Funkcje oraz są określone wzorami f (x) = x2 oraz ( )2 g(x) = − 1 x− 1 + 4 2 2 . Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P = (−1 ,1) . Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej. Oblicz współrzędne punktu , w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca toru od początku ) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji od punktu wyraża się wzorem

∘ -------------------------------- 1 1 13 39 593 |PR | = -x 4 − -x3 − ---x2 + ---x+ ----, 4 2 8 8 6 4

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .

Ukryj Podobne zadania

Funkcje oraz są określone wzorami f(x) = − 12(x− 1)2 + 72 oraz g (x ) = 1 (x− 5)2 − 25 4 2 16 . Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P = (4,− 1) . Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej. Oblicz współrzędne punktu , w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca toru od początku ) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji od punktu wyraża się wzorem

∘ --------------------- 1 |P R| = -x 4 − x 3 − 2x 2 + 3 2, 4

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .

W układzie współrzędnych dany jest punkt A = (9,4) . Na okręgu o równaniu (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 7 wyznacz współrzędne punktu , dla którego odległość |AB | jest największa.

Wyznacz taki punkt na prostej 2x + y − 1 = 0 , by suma kwadratów jego odległości od osi układu była najmniejsza.

Dane są punkty A = (1,3),B = (−4 ,−2 ) . Wyznacz taki punkt C = (x ,y) , gdzie x ∈ (−1 ,2) leżący na paraboli o równaniu y = x2 , aby pole trójkąta ABC było największe.

Wyznacz wartość parametru , dla której pole koła stycznego do prostych zawierających boki i równoległoboku ABCD o wierzchołkach A = (5,− 4) , B = (2,− 8) , C = (m 3 + 15m ,m 4 + 10m 2) jest najmniejsze możliwe. Oblicz to pole.

Dane są punkty A = (2,3) i B = (5,4) . Na prostej o równaniu y = 5 wyznacz punkt tak, aby łamana ACB miała jak najmniejszą długość. Odpowiedź uzasadnij.

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których równanie

2 2 2 x + y + 6mx − 4y + 1 0m − 4m + 2 = 0

opisuje okrąg. Jaka jest największa możliwa długość tego okręgu?

W parku krajobrazowym znajduje się zbiornik wodny, którego dwa brzegi postanowiono połączyć pomostem. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej zbiornika w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz , które odpowiadają przeciwległym brzegom zbiornika (zobacz rysunek).

Funkcje oraz są określone wzorami ( )2 f(x ) = 12 x− 32 − 3 oraz g (x) = 1 (x− 1)2 + 1 4 . Jeden z końców pomostu postanowiono zlokalizować na brzegu opisanym funkcją w punkcie o współrzędnych P = (3,2) . Koniec pomostu należy umieścić na brzegu opisanym funkcją . Oblicz współrzędne punktu , w którym należy zlokalizować koniec pomostu, aby jego długość (tj. odległość końca pomostu od początku ) była możliwie najmniejsza. Oblicz długość najkrótszego pomostu.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji od punktu wyraża się wzorem

∘ -------------------------------- 1 3 5 45 1537 |PR | = 4x 4 − 2x3 − 8-x2 + -8 x + -64--,

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji 9x−45 f (x) = x−6 określonej dla x ∈ (− ∞ ,6) . Wykres ten przecina osie i odpowiednio w punktach i , a punkt jest początkiem układu współrzędnych. Rozpatrujemy wszystkie czworokąty ABCD , w których punkt leży na wykresie funkcji y = f(x) pomiędzy punktami i .

Oblicz współrzędne wierzchołka tego z rozpatrywanych czworokątów, którego pole jest największe.

W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty postaci: ( ) P = 1m + 5,m 2 2 , gdzie m ∈ ⟨− 1,7⟩ . Oblicz najmniejszą i największą wartość 2 |PQ | , gdzie ( 55 ) Q = 2-,0 .

Na krzywej xy = 6 obrano punkty A (2,3) i B (6 ,1) . Znajdź na tej krzywej taki punkt o ujemnej odciętej, aby pole trójkąta ABC było najmniejsze.

Dane są punkty A = (− 1,3) i B = (3 ,6) . Funkcja przyporządkowuje dowolnemu punktowi należącemu do odcinka jego odległość od punktu P = (1,1) . Wyznacz zbiór wartości tej funkcji i jej wartość najmniejszą.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC , których wierzchołki i leżą na wykresie funkcji określonej wzorem f (x) = x94 dla x ⁄= 0 . Punkt ma współrzędne ( ) 1 0,− 3 , a punkty i , są położone symetrycznie względem osi (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołków i , dla których pole trójkąta ABC jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Na rysunku przedstawiono położenie miejscowości A ,B i oraz zaznaczono odległości między nimi. O godzinie 9:00 z miejscowości do wyruszył zastęp harcerzy Tropiciele i przemieszczał się z prędkością 4 km/h. O tej samej godzinie z miejscowości do wyruszył zastęp harcerzy Korsarze i przemieszczał się z prędkością 2 km/h.

ZINFO-FIGURE

Wyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie najmniejsza. Przyjmij, że mierzymy odległość między zastępami do momentu, w którym zastęp Tropicieli dotrze do miejscowości .

Wykres funkcji kwadratowej 2 2 f(x) = (1 − m )x − mx + m przecina oś w punktach i , które leżą po dwóch różnych stronach osi . Wyznacz tę wartość parametru , dla której iloczyn odległości punktów i od początku układu współrzędnych jest najmniejszy możliwy. Dla wyznaczonej wartości oblicz sumę odległości punktów i od początku układu współrzędnych.

Strona 2 z 3