Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Dwa okręgi przecinają się w punktach M i N . Przez punkt A pierwszego okręgu prowadzimy proste AM i AN , przecinające drugi okrąg w punktach B i C . Udowodnij, że styczna w punkcie A do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej BC .

*Ukryj

Dwa okręgi przecinają się w punktach M i N . Przez punkt A pierwszego okręgu prowadzimy proste AM i AN , przecinające drugi okrąg w punktach B i C . Udowodnij, że styczna w punkcie A do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej BC .


PIC


Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Udowodnij, że punkty styczności tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.

W półkole o średnicy AB wpisano okrąg styczny do średnicy AB w jej środku. Znajdź promień okręgu stycznego jednocześnie do półokręgu AB , do wpisanego okręgu oraz do średnicy AB jeżeli |AB | = 2R .

Dwa okręgi o promieniach r i R (r < R ) są styczne zewnętrznie. Prosta k nie przechodzi przez punkt wspólny tych okręgów i jest styczna do każdego z nich. Znajdź promień okręgu stycznego zewnętrznie do danych okręgów i stycznego do prostej k . Rozważ dwa przypadki.

Trzy okręgi o promieniach 2, 4 i 6 są parami zewnętrznie styczne. Oblicz długość promienia okręgu zawierającego punkty styczności tych okręgów.

Dwa okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie M . Cięciwa AB większego okręgu jest styczna do mniejszego okręgu w punkcie N . Oznaczmy przez A 1 i B1 punkty przecięcia prostych MA i MB z mniejszym okręgiem. Udowodnić, że

  • prosta A 1B1 jest równoległa do prostej AB ;
  • prosta MN jest dwusieczną kąta AMB .

Trzy koła o promieniu 1 są parami styczne zewnętrznie. Oblicz pole obszaru zawartego między tymi kołami.

Ramiona kąta o mierze  ∘ 60 przecięto prostą k prostopadłą do jednego z ramion kąta i wpisano dwa koła styczne do obu ramion tego kąta i prostej k . Oblicz stosunek pól tych kół.

W półkolu o o średnicy |AB | = 2R narysowano dwa przystające i zewnętrznie styczne półkola o 1,o 2 , których środki leżą na odcinku AB , i które są wewnętrznie styczne do półkola o . Oblicz promień okręgu o3 , który jest styczny do o ,o 1 2 i o .


PIC


Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie P . Poprowadzono prostą, styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B (A ⁄= B ). Wykaż, że kąt ∡AP B jest prosty.

*Ukryj

Dwa okręgi są zewnętrznie styczne w punkcie C oraz są styczne do prostej k w punktach A i B odpowiednio (zobacz rysunek).


PIC


Uzasadnij, że trójkąt ABC jest prostokątny.

Dane są 2 koła styczne zewnętrznie o promieniach R i r (R > r ) oraz środkach O 1 i O 2 . Do tych kół poprowadzono wspólną styczną, która jest styczna do tych okręgów w punktach S1 i S2 odpowiednio (S1 ⁄= S2 ). Oblicz pole trójkąta AO S 1 1 , gdzie A jest punktem przecięcia się prostych S S 1 2 i O 1O 2 .


PIC


Odległość między środkami okręgów o promieniach 2 i 7 wynosi 13. Prosta k jest styczna do obu okręgów w punktach A i B . Oblicz długość odcinka AB . Rozważ dwa przypadki.

Ramiona kąta ostrego o mierze 2x przecięto prostą k prostopadłą do dwusiecznej kąta, która jest odległa o d od jego wierzchołka. W ten kąt wpisano dwa okręgi, każdy styczny do obu ramion kąta i prostej k . Oblicz odległość środków tych okręgów.

Do dwóch okręgów przecinających się w punktach A i B poprowadzono wspólną styczną MN , przy czym punkt M należy do pierwszego, a punkt N do drugiego okręgu. Wykaż, że prosta AB dzieli odcinek MN na połowy.