Dwa okręgi przecinają się w punktach i
. Przez punkt
pierwszego okręgu prowadzimy proste
i
, przecinające drugi okrąg w punktach
i
. Udowodnij, że styczna w punkcie
do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej
.
/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Styczne
Dwa okręgi przecinają się w punktach i
. Przez punkt
pierwszego okręgu prowadzimy proste
i
, przecinające drugi okrąg w punktach
i
. Udowodnij, że styczna w punkcie
do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej
.
Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Udowodnij, że punkty styczności tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.
W półkole o średnicy wpisano okrąg styczny do średnicy
w jej środku. Znajdź promień okręgu stycznego jednocześnie do półokręgu
, do wpisanego okręgu oraz do średnicy
jeżeli
.
Dwa okręgi o promieniach i
(
) są styczne zewnętrznie. Prosta
nie przechodzi przez punkt wspólny tych okręgów i jest styczna do każdego z nich. Znajdź promień okręgu stycznego zewnętrznie do danych okręgów i stycznego do prostej
. Rozważ dwa przypadki.
Trzy okręgi o promieniach 2, 4 i 6 są parami zewnętrznie styczne. Oblicz długość promienia okręgu zawierającego punkty styczności tych okręgów.
Dwa okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie . Cięciwa
większego okręgu jest styczna do mniejszego okręgu w punkcie
. Oznaczmy przez
i
punkty przecięcia prostych
i
z mniejszym okręgiem. Udowodnić, że
- prosta
jest równoległa do prostej
;
- prosta
jest dwusieczną kąta
.
Trzy koła o promieniu 1 są parami styczne zewnętrznie. Oblicz pole obszaru zawartego między tymi kołami.
Ramiona kąta o mierze przecięto prostą
prostopadłą do jednego z ramion kąta i wpisano dwa koła styczne do obu ramion tego kąta i prostej
. Oblicz stosunek pól tych kół.
W półkolu o średnicy
narysowano dwa przystające i zewnętrznie styczne półkola
, których środki leżą na odcinku
, i które są wewnętrznie styczne do półkola
. Oblicz promień okręgu
, który jest styczny do
i
.
Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie . Poprowadzono prostą, styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach
i
(
). Wykaż, że kąt
jest prosty.
Dwa okręgi są zewnętrznie styczne w punkcie oraz są styczne do prostej
w punktach
i
odpowiednio (zobacz rysunek).
Uzasadnij, że trójkąt jest prostokątny.
Dane są 2 koła styczne zewnętrznie o promieniach i
(
) oraz środkach
i
. Do tych kół poprowadzono wspólną styczną, która jest styczna do tych okręgów w punktach
i
odpowiednio (
). Oblicz pole trójkąta
, gdzie
jest punktem przecięcia się prostych
i
.
Odległość między środkami okręgów o promieniach 2 i 7 wynosi 13. Prosta jest styczna do obu okręgów w punktach
i
. Oblicz długość odcinka
. Rozważ dwa przypadki.
Ramiona kąta ostrego o mierze przecięto prostą
prostopadłą do dwusiecznej kąta, która jest odległa o
od jego wierzchołka. W ten kąt wpisano dwa okręgi, każdy styczny do obu ramion kąta i prostej
. Oblicz odległość środków tych okręgów.
Do dwóch okręgów przecinających się w punktach i
poprowadzono wspólną styczną
, przy czym punkt
należy do pierwszego, a punkt
do drugiego okręgu. Wykaż, że prosta
dzieli odcinek
na połowy.