Styczne/Okrąg i koło/Planimetria - zadania z matematyki

/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Styczne

Dwa okręgi przecinają się w punktach i . Przez punkt pierwszego okręgu prowadzimy proste i , przecinające drugi okrąg w punktach i . Udowodnij, że styczna w punkcie do pierwszego okręgu jest równoległa do prostej .

Ukryj Podobne zadania

Dane są cztery okręgi. Każdy z nich jest styczny zewnętrznie do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Udowodnij, że punkty styczności tych okręgów są wierzchołkami czworokąta, na którym można opisać okrąg.

W półkole o średnicy wpisano okrąg styczny do średnicy w jej środku. Znajdź promień okręgu stycznego jednocześnie do półokręgu , do wpisanego okręgu oraz do średnicy jeżeli |AB | = 2R .

Dwa okręgi o promieniach i ( r < R ) są styczne zewnętrznie. Prosta nie przechodzi przez punkt wspólny tych okręgów i jest styczna do każdego z nich. Znajdź promień okręgu stycznego zewnętrznie do danych okręgów i stycznego do prostej . Rozważ dwa przypadki.

Trzy okręgi o promieniach 2, 4 i 6 są parami zewnętrznie styczne. Oblicz długość promienia okręgu zawierającego punkty styczności tych okręgów.

Dwa okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie . Cięciwa większego okręgu jest styczna do mniejszego okręgu w punkcie . Oznaczmy przez A 1 i punkty przecięcia prostych i z mniejszym okręgiem. Udowodnić, że

prosta jest równoległa do prostej ;
prosta jest dwusieczną kąta .

Trzy koła o promieniu 1 są parami styczne zewnętrznie. Oblicz pole obszaru zawartego między tymi kołami.

Ramiona kąta o mierze ∘ 60 przecięto prostą prostopadłą do jednego z ramion kąta i wpisano dwa koła styczne do obu ramion tego kąta i prostej . Oblicz stosunek pól tych kół.

W półkolu o średnicy |AB | = 2R narysowano dwa przystające i zewnętrznie styczne półkola o 1,o 2 , których środki leżą na odcinku , i które są wewnętrznie styczne do półkola . Oblicz promień okręgu , który jest styczny do o ,o 1 2 i .

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie . Poprowadzono prostą, styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach i ( A ⁄= B ). Wykaż, że kąt ∡AP B jest prosty.

Ukryj Podobne zadania

Dwa okręgi są zewnętrznie styczne w punkcie oraz są styczne do prostej w punktach i odpowiednio (zobacz rysunek).

Uzasadnij, że trójkąt ABC jest prostokątny.

Dane są 2 koła styczne zewnętrznie o promieniach i ( R > r ) oraz środkach O 1 i O 2 . Do tych kół poprowadzono wspólną styczną, która jest styczna do tych okręgów w punktach i odpowiednio ( S1 ⁄= S2 ). Oblicz pole trójkąta AO S 1 1 , gdzie jest punktem przecięcia się prostych S S 1 2 i O 1O 2 .

Odległość między środkami okręgów o promieniach 2 i 7 wynosi 13. Prosta jest styczna do obu okręgów w punktach i . Oblicz długość odcinka . Rozważ dwa przypadki.

Ramiona kąta ostrego o mierze przecięto prostą prostopadłą do dwusiecznej kąta, która jest odległa o od jego wierzchołka. W ten kąt wpisano dwa okręgi, każdy styczny do obu ramion kąta i prostej . Oblicz odległość środków tych okręgów.

Do dwóch okręgów przecinających się w punktach i poprowadzono wspólną styczną , przy czym punkt należy do pierwszego, a punkt do drugiego okręgu. Wykaż, że prosta dzieli odcinek na połowy.