Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a , b i c , funkcja

f(x ) = (x− a)(x − b)+ (x− b)(x − c)+ (x− c)(x− a)

ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Dane są liczby wymierne a,b,c takie, że równanie  2 ax + bx + c = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste. Uzasadnij, że jeżeli jeden z pierwiastków tego równania jest liczbą wymierną to drugi pierwiastek też jest liczbą wymierną.

*Ukryj

Dane są niezerowe liczby wymierne a,c takie, że funkcja  2 f(x) = ax + bx+ c ma miejsce zerowe będące liczbą wymierną. Wykaż, że b jest liczbą wymierną.

Wykaż, że jeżeli m i n są takimi liczbami całkowitymi, że rozwiązania równania x 2 + mx + 1 − n = 0 są niezerowymi liczbami całkowitymi, to liczba m 2 + n2 nie jest liczbą pierwszą.

Wykaż że jeśli b ⁄= c i funkcje kwadratowe  2 f(x) = x + (b+ 1)x+ c oraz g (x ) = x2 + (c+ 1)x + b mają wspólne miejsce zerowe, to b + c + 2 = 0 .

Wykaż, że jeżeli funkcje  2 f(x ) = x + px + q i  2 g(x ) = x + qx + p , gdzie p ⁄= q , mają wspólne miejsce zerowe, to p + q = − 1 .

Wykaż, że funkcja kwadratowa  2 f(x) = x + (b + 2)x + 2b , ma co najmniej jedno miejsce zerowe dla każdej wartości parametru b . Dla jakiej wartości parametru b funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe? Wyznacz to miejsce.

*Ukryj

Uzasadnij, że równanie  2 x + (b− 2)x− 2b = 0 dla dowolnej liczby rzeczywistej b ma przynajmniej jedno rozwiązanie.

Wykaż, że jeżeli między współczynnikami trójmianów  2 x + px + q i x 2 + mx + n zachodzi związek mp = 2(n + q ) , to przynajmniej jedno z równań x 2 + px + q = 0 lub x2 + mx + n = 0 ma rozwiązanie.

Uzasadnij, że dla dowolnej liczby całkowitej m rozwiązania równania x 2 + mx + m − 1 = 0 z niewiadomą x są liczbami całkowitymi.

Wykaż, że funkcja kwadratowa  2 f(x) = ax + (a + c)x + c ma co najmniej jedno miejsce zerowe dla a,c ∈ R i a ⁄= 0 .

Wykaż, że jeśli funkcja kwadratowa  2 f(x) = x + (b − 4)x + c osiąga najmniejszą wartość dla argumentu x = c , to ma dwa rózne miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy c ∈ (− ∞ ,0)∪ (1 ,+∞ ) .

Liczby x1 ⁄= x2 są dwoma dodatnimi pierwiastkami równania  2 3x − πx + m = 0 z niewiadomą x , gdzie m jest pewną ustaloną liczbą rzeczywistą.

  • Wykaż, że 2x1x2 < π- x1+x2 6 .
  • Wykaż, że  ----1----- 2tg x1tg x2 + cosx1cosx2 = 2 .

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a , b , c równanie x 2 + (a + b)x + ab − c2 = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie. Kiedy równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej m > 1 istnieje dokładnie jedna liczba rzeczywista x taka, że

 ∘ ---------- mx 2 + m = 1 + 2x m (m − 1).

Suma pierwiastków trójmianu  2 y = ax + bx + c jest równa loga2 c ⋅logc2 a , gdzie a,c ∈ R + ∖ {1} . Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego trójmianu jest równa 18 .