Najmniejsza długość/Zadania na ekstremum - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Najmniejsza długość

Dla dowolnej liczby m ≥ 3 , prosta 1 2 y = 4m x− m przecina hiperbolę 3 y = x w punktach i . Uzasadnij, że |P Q | ≥ 6 ,56 .

Na prostej o równaniu x− y− 4 = 0 znajdź punkt , którego kwadrat odległości od punktu A(1,1 ) jest najmniejszy.

Ukryj Podobne zadania

Na prostej o równaniu y = −x wyznacz współrzędne punktu leżącego najbliżej punktu K = (5;2) .

Na prostej o równaniu y = x wyznacz współrzędne punktu leżącego najbliżej punktu K = (− 1;7) .

Dany jest ciąg punktów (Pn) na płaszczyźnie, których współrzędne dane są wzorem Pn = (n, 23n 2 − 3n + 3) , gdzie n ≥ 1 . Wyznacz tę wartość , dla której odległość punktu od prostej y = 8x − 50 jest najmniejsza z możliwych.

Dane są punkty A = (3,1) i B = (− 1,4) oraz prosta o równaniu y = − 2x+ 1 . Wyznacz taki punkt prostej , aby suma kwadratów boków trójkąta ABC była najmniejsza możliwa. Oblicz tę najmniejszą sumę kwadratów długości boków.

Który z odcinków łączących dowolny punkt paraboli o równaniu 2 y = x z punktem A = (10;2) ma najmniejszy kwadrat długości?

Ukryj Podobne zadania

Wyznacz te punkty paraboli 2 y = x − 4x + 5 , które znajdują się najbliżej punktu ( ) A = 2 , 52 . Oblicz tę najmniejszą odległość.

Rozpatrujemy prostokąty ABCD , których dwa wierzchołki leżą na osi , jeden wierzchołek leży na paraboli określonej równaniem y = 94x2 + 1 , jeden wierzchołek leży na wykresie funkcji √ -- f(x ) = x określonej dla x ≥ 0 . Oblicz pole tego z tych prostokątów, który ma najmniejszy możliwy obwód.

Na paraboli o równaniu 2 y = x + 6x + 5 znajdź współrzędne punktu , którego odległość od prostej o równaniu y = 2x − 1 3 jest najmniejsza.

Ukryj Podobne zadania

Na paraboli o równaniu 2 y = x − 4x + 3 wyznacz punkt, którego odległość od prostej y = − 2x − 5 jest najmniejsza.

Wyznacz wartość parametru , dla której odległość punktu 2 P = (m ,3m − 1) od prostej y = x + 2 jest najmniejsza możliwa.

Na wykresie funkcji 1 4 3 2 y = 4x − x − 5x + 22x + 50 znajdź współrzędne punktu , którego odległość od prostej o równaniu y = −2x − 22 jest najmniejsza.

Ukryj Podobne zadania

Na wykresie funkcji 1 4 3 2 y = 4x + x − 5x − 22x + 50 znajdź współrzędne punktu , którego odległość od prostej o równaniu y = 2x− 22 jest najmniejsza.

W parku krajobrazowym znajduje się zbiornik wodny, którego dwa brzegi postanowiono połączyć pomostem. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej zbiornika w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz , które odpowiadają przeciwległym brzegom zbiornika (zobacz rysunek).

Funkcje oraz są określone wzorami ( )2 f(x ) = 12 x− 32 − 3 oraz g (x) = 1 (x− 1)2 + 1 4 . Jeden z końców pomostu postanowiono zlokalizować na brzegu opisanym funkcją w punkcie o współrzędnych P = (3,2) . Koniec pomostu należy umieścić na brzegu opisanym funkcją . Oblicz współrzędne punktu , w którym należy zlokalizować koniec pomostu, aby jego długość (tj. odległość końca pomostu od początku ) była możliwie najmniejsza. Oblicz długość najkrótszego pomostu.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji od punktu wyraża się wzorem

∘ -------------------------------- 1 3 5 45 1537 |PR | = 4x 4 − 2x3 − 8-x2 + -8 x + -64--,

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .

Dane są punkty A = (− 1,3) i B = (3 ,6) . Funkcja przyporządkowuje dowolnemu punktowi należącemu do odcinka jego odległość od punktu P = (1,1) . Wyznacz zbiór wartości tej funkcji i jej wartość najmniejszą.

Na rysunku przedstawiono położenie miejscowości A ,B i oraz zaznaczono odległości między nimi. O godzinie 9:00 z miejscowości do wyruszył zastęp harcerzy Tropiciele i przemieszczał się z prędkością 4 km/h. O tej samej godzinie z miejscowości do wyruszył zastęp harcerzy Korsarze i przemieszczał się z prędkością 2 km/h.

ZINFO-FIGURE

Wyznacz godzinę, o której odległość między tymi zastępami harcerzy będzie najmniejsza. Przyjmij, że mierzymy odległość między zastępami do momentu, w którym zastęp Tropicieli dotrze do miejscowości .