Dla dowolnej liczby , prosta
przecina hiperbolę
w punktach
i
. Uzasadnij, że
.
/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Najmniejsza długość
Na prostej o równaniu znajdź punkt
, którego kwadrat odległości od punktu
jest najmniejszy.
Na prostej o równaniu wyznacz współrzędne punktu
leżącego najbliżej punktu
.
Na prostej o równaniu wyznacz współrzędne punktu
leżącego najbliżej punktu
.
Dany jest ciąg punktów na płaszczyźnie, których współrzędne dane są wzorem
, gdzie
. Wyznacz tę wartość
, dla której odległość punktu
od prostej
jest najmniejsza z możliwych.
Dane są punkty i
oraz prosta
o równaniu
. Wyznacz taki punkt
prostej
, aby suma kwadratów boków trójkąta
była najmniejsza możliwa. Oblicz tę najmniejszą sumę kwadratów długości boków.
Który z odcinków łączących dowolny punkt paraboli o równaniu z punktem
ma najmniejszy kwadrat długości?
Wyznacz te punkty paraboli , które znajdują się najbliżej punktu
. Oblicz tę najmniejszą odległość.
Rozpatrujemy prostokąty , których dwa wierzchołki leżą na osi
, jeden wierzchołek leży na paraboli określonej równaniem
, jeden wierzchołek leży na wykresie funkcji
określonej dla
. Oblicz pole tego z tych prostokątów, który ma najmniejszy możliwy obwód.
Na paraboli o równaniu znajdź współrzędne punktu
, którego odległość od prostej o równaniu
jest najmniejsza.
Na paraboli o równaniu wyznacz punkt, którego odległość od prostej
jest najmniejsza.
Wyznacz wartość parametru , dla której odległość punktu
od prostej
jest najmniejsza możliwa.
Na wykresie funkcji znajdź współrzędne punktu
, którego odległość od prostej o równaniu
jest najmniejsza.
Na wykresie funkcji znajdź współrzędne punktu
, którego odległość od prostej o równaniu
jest najmniejsza.
W parku krajobrazowym znajduje się zbiornik wodny, którego dwa brzegi postanowiono połączyć pomostem. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej zbiornika w kartezjańskim układzie współrzędnych za pomocą fragmentów wykresów funkcji
oraz
, które odpowiadają przeciwległym brzegom zbiornika (zobacz rysunek).
Funkcje oraz
są określone wzorami
oraz
. Jeden z końców pomostu postanowiono zlokalizować na brzegu opisanym funkcją
w punkcie o współrzędnych
. Koniec pomostu należy umieścić na brzegu opisanym funkcją
. Oblicz współrzędne punktu
, w którym należy zlokalizować koniec pomostu, aby jego długość (tj. odległość końca
pomostu od początku
) była możliwie najmniejsza. Oblicz długość najkrótszego pomostu.
Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji
od punktu
wyraża się wzorem
![∘ -------------------------------- 1 3 5 45 1537 |PR | = 4x 4 − 2x3 − 8-x2 + -8 x + -64--,](https://img.zadania.info/zad/8383920/HzadT17x.gif)
gdzie jest pierwszą współrzędną punktu
.
Dane są punkty i
. Funkcja
przyporządkowuje dowolnemu punktowi należącemu do odcinka
jego odległość od punktu
. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji i jej wartość najmniejszą.