Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba √ -- √ -- 3+ 2− 1 .

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają równość a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca to a = b = c .

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a , b i c , funkcja

f(x ) = (x− a)(x − b)+ (x− b)(x − c)+ (x− c)(x− a)

ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Wykaż, że wielomian  4 3 2 W (x) = x − 2x + 2x − 6x+ 9 nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Uzasadnij, że równanie  3 x(x+ 1)(x + 2) = 20 06 nie ma pierwiastków całkowitych.

Rozwiąż układ równań { x+ xy + y = 13 2(x+ y)2 + x2y + xy2 + 30 = 0.

Wyznacz wszystkie liczby naturalne dodatnie k , dla których równanie x 2 + x + 1 = k2 ma pierwiastki będące liczbami całkowitymi.

Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych (k,n) spełniających równość kn + k = n3 − n2 − 1 .

Wyznacz wszystkie pary (x,y) , gdzie x i y są liczbami całkowitymi spełniającymi równanie

1-+ 1-+ 1--= 1. x y xy 2

Liczby naturalne a i b spełniają równość 34a = 43b . Udowodnij, że liczba a + b jest złożona.

Wyznacz wszystkie liczby całkowite x ,y spełniające równanie x + y + xy = 40 .

Liczby a,b,c są rozwiązaniami równania  3 x − 1005x − 2004 = 0 . Napisz równanie którego rozwiązaniami są liczby a− 1 ,b− 1 ,c− 1 .

Wykaż, że nie istnieje para liczb (a ,b) spełniająca układ równań { 3b+ 2ab = 1 2 2 a + b + 3a = − 4.

Wykaż, że jeżeli między współczynnikami trójmianów  2 x + px + q i x 2 + mx + n zachodzi związek mp = 2(n + q ) , to przynajmniej jedno z równań x 2 + px + q = 0 lub x2 + mx + n = 0 ma rozwiązanie.

Wielomian  3 2004 W (x) = (2x + 3x − 6) , po wykonaniu potęgowania i dokonaniu redukcji wyrazów podobnych, zapisano w postaci W (x) = anxn + an− 1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0 . Oblicz sumę an + a + ...+ a + a + a n− 1 2 1 0 .

Wykaż, że jeżeli wielomian  3 W (x) = x + ax + b ma pierwiastek dwukrotny, to 4a3 + 27b 2 = 0 .

Ile jest takich czwórek liczb całkowitych i dodatnich (a,b,c,d) , które spełniają równanie ab + bc + cd + da = 1004 .

Uzasadnij, że równanie  3 x (x+ 1)(x + 2) = y nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich x,y .

Wykaż, że jeżeli liczby całkowite a i b spełniają równanie

 2 2 a = 3b + 9

to liczba b dzieli się przez 3, a liczba a nie dzieli się przez 9.

Udowodnij, że jeżeli 1 1 1 ---1-- a + b + c = a+b +c to  3 3 3 3 3 3 (a + b )(b + c )(c + a ) = 0 .

Strona 1 z 2>