Równania/Zadania/Konkursy - zadania z matematyki

Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba √ -- √ -- 3+ 2− 1 .

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają równość a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca to a = b = c .

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych , i , funkcja

f(x ) = (x− a)(x − b)+ (x− b)(x − c)+ (x− c)(x− a)

ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Wykaż, że wielomian 4 3 2 W (x) = x − 2x + 2x − 6x+ 9 nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Uzasadnij, że równanie 3 x(x+ 1)(x + 2) = 20 06 nie ma pierwiastków całkowitych.

Rozwiąż układ równań { x+ xy + y = 13 2(x+ y)2 + x2y + xy2 + 30 = 0.

Wyznacz wszystkie liczby naturalne dodatnie , dla których równanie x 2 + x + 1 = k2 ma pierwiastki będące liczbami całkowitymi.

Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych (k,n) spełniających równość kn + k = n3 − n2 − 1 .

Wyznacz wszystkie pary (x,y) , gdzie i są liczbami całkowitymi spełniającymi równanie

1-+ 1-+ 1--= 1. x y xy 2

Liczby naturalne i spełniają równość 34a = 43b . Udowodnij, że liczba a + b jest złożona.

Wyznacz wszystkie liczby całkowite x ,y spełniające równanie x + y + xy = 40 .

Liczby a,b,c są rozwiązaniami równania 3 x − 1005x − 2004 = 0 . Napisz równanie którego rozwiązaniami są liczby a− 1 ,b− 1 ,c− 1 .

Wykaż, że nie istnieje para liczb (a ,b) spełniająca układ równań { 3b+ 2ab = 1 2 2 a + b + 3a = − 4.

Wykaż, że jeżeli między współczynnikami trójmianów 2 x + px + q i x 2 + mx + n zachodzi związek mp = 2(n + q ) , to przynajmniej jedno z równań x 2 + px + q = 0 lub x2 + mx + n = 0 ma rozwiązanie.

Wielomian 3 2004 W (x) = (2x + 3x − 6) , po wykonaniu potęgowania i dokonaniu redukcji wyrazów podobnych, zapisano w postaci W (x) = anxn + an− 1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0 . Oblicz sumę an + a + ...+ a + a + a n− 1 2 1 0 .