Geometria analityczna/Geometria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna

Dany jest okrąg o równaniu 2 2 x + y − 8x + 12 = 0 .

Wyznacz równania stycznych do okręgu przechodzących przez początek układu współrzędnych.
Oblicz pole ﬁgury ograniczonej stycznymi i łukiem okręgu wyznaczonym przez punkty styczności.

Ukryj Podobne zadania

Z punktu A = (6 ,3 ) poprowadzono styczne do okręgu 2 2 x + y − 6y = 0 .

Wyznacz równania tych stycznych.
Oblicz odległość punktów styczności.
Oblicz pole ﬁgury zaznaczonej na rysunku.

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y ) czworokąt ABCD jest równoległobokiem takim, że −→ BD = [− 21,− 7] i −→ DC = [15,8 ] . Oblicz pole tego równoległoboku.

W okrąg o równaniu 2 2 (x+ 7) + (y− 9) = 6 wpisano kwadrat. Oblicz pole tego kwadratu.

W czworokącie ABCD dane są −→ −→ AB = [6,− 3], DA = [− 8,− 7] oraz środek S = (3,2) przekątnej . Wyznacz współrzędne rzutu prostopadłego punktu na prostą .

Punkty B = (0,10) i O = (0,0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego OAB , w którym |∡OAB | = 9 0∘ . Przyprostokątna zawiera się w prostej o równaniu y = 12x . Oblicz współrzędne punktu i długość przyprostokątnej .

Dla jakich wartości parametru punkt przecięcia się prostych 2x − y − m = 0 i 3y − x + 6 = 0 należy do prostej 2y − x = 0 . Podaj współrzędne tego punktu i oblicz jego odległość od prostej 12y − 5x − 1 = 0 .

Określ wzajemne położenie prostych

k : 3x− 4y + 2 = 0 4- l : y = − 3x + 1

Dane są punkty A (3,0) i B(− 3,0) . Wyznacz równanie krzywej, utworzonej przez wszystkie punkty płaszczyzny, których odległość od punktu jest 2 razy większa od odległości od punktu . Jaką ﬁgurę opisuje ta krzywa?

Dany jest okrąg o równaniu 2 2 x + y − 2x + 6y + 5 = 0 .

Napisz równania stycznych do danego okręgu, prostopadłych do prostej o równaniu .
Oblicz pole trójkąta , gdzie i są punktami przecięcia się stycznych z prostą o równaniu , zaś jest środkiem danego okręgu.

Wierzchołkami trójkąta ABC są środki okręgów określonych równaniami (x + 1)2 + (y − 4)2 = 7 ,(x + 1)2 + (y + 1 )2 = 3,(x− 2)2 + (y+ 1)2 = 9 . Oblicz pole tego trójkąta.

W układzie współrzędnych dany jest okrąg opisany równaniem (x + 3 )2 + (y − 5)2 = 12 . Sprawdź, czy prosta o równaniu y = 2x + 3 jest styczna do okręgu .

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ∈ R , dla których równanie

2 2 2 x + y + 6mx − 4y + 1 0m − 4m + 2 = 0

opisuje okrąg. Jaka jest największa możliwa długość tego okręgu?

Przekątne prostokąta ABCD o polu 1 333 są zawarte w prostych o równaniach y = (p+ 2)x − q i y = (q − 5)x + 2p . Ponadto prosta y = 0 jest osią symetrii tego prostokąta. Oblicz obwód tego prostokąta.

Ukryj Podobne zadania

Przekątne prostokąta ABCD o obwodzie 2 26 3 są zawarte w prostych o równaniach y = (p + 2)x − q i y = (q− 5)x + 2p . Ponadto prosta y = 0 jest osią symetrii tego prostokąta. Oblicz pole tego prostokąta.

Dane są punkty A = (− 1,− 2) i B = (4,8 ) . Wyznacz te punkty prostej , dla których różnica odległości od punktu i odległości od punktu jest większa niż odległość od punktu (0,0) .

Oblicz odległość punktu od środka odcinka , gdzie A = (1,3), B = (4,7), C = (− 2,− 3) .

Ukryj Podobne zadania

Oblicz odległość od początku układu współrzędnych środka odcinka , gdzie A = (− 2,4 ),B = (6,− 6) .

Oblicz odległość punktu K = (5,17) od środka odcinka o końcach A = (42 ,5 4) , B = (− 8,4) .

Oblicz odległość punktu K = (24,1) od środka odcinka o końcach A = (26 ,1 8) , B = (4,2) .

Punkty A (2,− 3) i B (6,− 1) są końcami podstawy trójkąta równoramiennego ABC , którego pole jest równe 10. Wyznacz współrzędne wierzchołka .

Ukryj Podobne zadania

Odcinek , gdzie A = (1,3) i B = (7,− 3) , jest podstawą trójkąta ABC . Oblicz współrzędne punktu tak, aby trójkąt ABC był równoramienny, a jego pole było równe 30.

Prosta tworzy z dodatnią półosią kąt o mierze ∘ 135 i przechodzi przez punkt M = (3 ,− 7 ) . Prosta jest prostopadła do prostej i przecina oś w punkcie o odciętej − 6 . Oblicz obwód trójkąta utworzonego przez proste , i oś .

W parku krajobrazowym znajduje się zbiornik wodny, którego dwa brzegi postanowiono połączyć pomostem. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej zbiornika w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) za pomocą fragmentów wykresów funkcji oraz , które odpowiadają przeciwległym brzegom zbiornika (zobacz rysunek).

Funkcje oraz są określone wzorami ( )2 f(x ) = 12 x− 32 − 3 oraz g (x) = 1 (x− 1)2 + 1 4 . Jeden z końców pomostu postanowiono zlokalizować na brzegu opisanym funkcją w punkcie o współrzędnych P = (3,2) . Koniec pomostu należy umieścić na brzegu opisanym funkcją . Oblicz współrzędne punktu , w którym należy zlokalizować koniec pomostu, aby jego długość (tj. odległość końca pomostu od początku ) była możliwie najmniejsza. Oblicz długość najkrótszego pomostu.

Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu leżącego na wykresie funkcji od punktu wyraża się wzorem

∘ -------------------------------- 1 3 5 45 1537 |PR | = 4x 4 − 2x3 − 8-x2 + -8 x + -64--,

gdzie jest pierwszą współrzędną punktu .

Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi , którego środkiem jest punkt S = (3,− 5) .

Punkt A (4,− 10) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD . Dwa boki równoległoboku zawierają się w prostych o równaniach y = 3x − 2 i y = −x + 6 . Wyznacz pozostałe wierzchołki równoległoboku.

Strona 20 z 27