Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Uzasadnij, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku. Jaka figurę otrzymamy, łącząc kolejno środki boków: a) rombu, b) prostokąta, c) kwadratu?

*Ukryj

Uzasadnij, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku.

Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg oraz pola trójkątów ABC i ADC są równe. Wykaż, że

|AB |2 + |BC |2 + |CD |2 + |DA |2 = 2|AC |2.

Dwa przeciwległe boki czworokąta wpisanego w okrąg mają równe długości. Wykaż, że czworokąt ten jest trapezem.

Dany jest czworokąt wypukły ABCD , w którym: |AB | = |BC | , |∡DAB | = 45∘ , |∡ABC | = 150∘ , |∡BCD | = 60∘ . Wykaż, że trójkąt BCD jest równoboczny.

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD dzielą go na cztery trójkąty. Wykaż, że jeżeli promienie okręgów opisanych na tych czterech trójkątach są równe, to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Przez każde dwa sąsiednie wierzchołki czworokąta ABCD wpisanego w okrąg poprowadzono okrąg (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że punkty P ,Q,R ,S , w których przecinają się te okręgi, leżą na jednym okręgu.

Dany jest czworokąt ABCD . Niech S będzie punktem przecięcia jego przekątnych. Udowodnij, że czworokąt ABCD można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy |AS|= |BS| |DS| |CS| .

Bok AB czworokąta ABCD wpisanego w okrąg jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że |AD |2 + |BD |2 = |BC |2 + |AC |2 .


PIC


*Ukryj

Przekątna AC czworokąta ABCD wpisanego w okrąg jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że |AB |2 + |BC |2 = |AD |2 + |DC |2 .


PIC


<Strona 2 z 2