Okrąg przecina boki czworokąta kolejno w punktach
(zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli , to w czworokąt
można wpisać okrąg.
Okrąg przecina boki czworokąta kolejno w punktach
(zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli , to w czworokąt
można wpisać okrąg.
W czworokącie wypukłym (zobacz rysunek poniżej) dane są kąty:
oraz
. Wykaż, że
.
Przekątne czworokąta są prostopadłe. Wykaż, że
.
Dany jest czworokąt wypukły niebędący równoległobokiem. Punkty
są odpowiednio środkami boków
i
. Punkty
są odpowiednio środkami przekątnych
i
. Uzasadnij, że
.
Dany jest czworokąt wypukły niebędący równoległobokiem. Punkty
są odpowiednio środkami boków
i
. Punkty
są odpowiednio środkami przekątnych
i
. Uzasadnij, że czworokąt
jest równoległobokiem.
Przeciwległe boki czworokąta wpisanego w okrąg przecinają się w punktach
i
(zobacz rysunek), przy czym odcinek
jest zawarty w dwusiecznej kąta
, a odcinek
jest zawarty w dwusiecznej kąta
. Wykaż, że
.
Dwusieczne czworokąta wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach:
(zobacz rysunek).
Wykaż, że na czworokącie można opisać okrąg.
Z wierzchołków czworokąta poprowadzono półproste, które przecinają się w wierzchołkach czworokąta
wpisanego w okrąg (zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli półproste i
są dwusiecznymi odpowiednio kątów
i
, to półprosta
jest dwusieczną kąta
.
Wykaż, że jeżeli w czworokącie dwusieczne kątów przy wierzchołkach
i
przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach
i
w czterech różnych punktach, to punkty te leżą na pewnym okręgu.
W czworokącie wypukłym poprowadzono przekątną
. Okręgi wpisane w trójkąty
i
są styczne zewnętrznie. Wykaż, że w czworokąt
można wpisać okrąg.
Przekątne czworokąta wpisanego w okrąg przecinają się w punkcie
, a punkt
jest takim punktem przekątnej
, że
(zobacz rysunek).
Wykaż, że .
Udowodnij, że jeżeli środki boków dwóch czworokątów wypukłych pokrywają się, to pola tych czworokątów są równe.
W czworokącie spełniony jest warunek
. Wykaż, że na czworokącie
można opisać okrąg.
Wykaż, że jeżeli każda przekątna czworokąta wypukłego dzieli go na trójkąty o równych polach to czworokąt ten jest równoległobokiem.
W trójkącie kąt wewnętrzny przy wierzchołku
ma miarę
, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku
ma miarę
. Okrąg
przechodzi przez punkt
i przecina boki
i
trójkąta odpowiednio w punktach
i
. Okrąg
przechodzi przez punkt
, przecina okrąg
w punkcie
oraz w punkcie
leżącym wewnątrz trójkąta
. Ponadto okrąg
przecina bok
trójkąta w punkcie
.
Udowodnij, że na czworokącie można opisać okrąg.
Czworokąt jest wpisany w okrąg i jego przekątna
przecina okrąg opisany na trójkącie
w punkcie
(zobacz rysunek).
Zachodzi ponadto równość . Udowodnij, że punkty
i
są współliniowe.
Dany jest czworokąt wypukły niebędący równoległobokiem. Punkty
są odpowiednio środkami boków
i
. Punkty
są odpowiednio środkami przekątnych
i
. Uzasadnij, że jeżeli odcinki
i
są prostopadłe, to
.
Wykaż, że jeżeli odcinki łączące środki przeciwległych boków czworokąta są prostopadłe, to przekątne tego czworokąta mają równe długości.
Przekątne czworokąta są prostopadłe.
Wykaż, że jeżeli dwusieczne dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych czworokąta wypukłego są prostopadłe, to czworokąt ten jest trapezem.
W czworokącie wypukłym , długości boków
są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wykaż, że dwusieczne kątów wewnętrznych tego czworokąta przecinają się w jednym punkcie.
Uzasadnij, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku.
Dwusieczne kątów i
czworokąta wypukłego
przecinają się w punkcie
, przy czym punkty
i
leżą po przeciwnych stronach prostej
(zobacz rysunek).
Wykaż, że .