Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema

Wyszukiwanie zadań

Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, by |CE | = 2|DF | . Oblicz wartość x = |DF | , dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 2. Na bokach BC i CD tego kwadratu wybrano – odpowiednio – punkty P i Q , takie, że długość odcinka |PC | = |QD | = x (zobacz rysunek). Wyznacz tę wartość x , dla której pole trójkąta AP Q osiąga wartość najmniejszą. Oblicz to najmniejsze pole.

PIC

Każdy kąt trójkąta ABC ma miarę mniejszą od ∘ 120 . Wyznacz taki punkt P wewnątrz trójkąta ABC , dla którego suma |PA |+ |P B| + |PC | jest najmniejsza możliwa.

ZINFO-FIGURE

Heron codziennie rano wyrusza ze swojego domu (punkt A ) do brzegu rzeki (prosta KL ) aby nabrać wodę (w punkcie P ) i podlać rośliny w sadzie (punkt B ).

ZINFO-FIGURE

Jakie powinno być położenie punktu P , żeby pokonana przez niego droga (wzdłuż łamanej AP B ) była najkrótsza?

W trójkącie o obwodzie 14 jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego boku. Oblicz cosinus najmniejszego kąta, tego spośród trójkątów spełniających podany warunek, w którym suma kwadratów długości boków jest najmniejsza.

Na kole o promieniu 4 opisano trójkąt prostokątny. Oblicz długości boków tego trójkąta, którego pole jest najmniejsze.

Ukryj Podobne zadania

Na kole o promieniu 12 opisano trójkąt prostokątny. Oblicz długości boków tego trójkąta, którego pole jest najmniejsze.

Na kole o promieniu 1 opisano trójkąt prostokątny. Oblicz długości boków tego trójkąta, którego pole jest najmniejsze.

Obwód trapezu równoramiennego kącie ostrym ∘ 6 0 równa się 2s (s > 0 ). Jakie powinny być wymiary tego trapezu, aby jego pole było największe? Oblicz to największe pole.

Z arkusza blachy w kształcie półkola o promieniu R należy wyciąć trapez, którego jedna podstawa jest średnicą tego półkola, a wierzchołki drugiej podstawy leżą na jego brzegu (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz jaką długość powinno mieć ramię tego trapezu, aby jego pole było największe możliwe. Oblicz to pole.

Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości a . Punkty A 1 , B 1 i C1 należą do boków AB , BC i CA , przy czym |AA 1| = |BB1| = |CC 1| = x .

  • Wyraź pole trójkąta A B C 1 1 1 jako funkcję zmiennej x . Wyznacz dziedzinę tej funkcji.
  • Wyznacz wartość x , dla której pole trójkąta A1B 1C1 jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Drut o długości 72 cm rozcięto na dwa kawałki i z każdego kawałka zbudowano brzeg trójkąta równoramiennego, przy czym stosunek długości ramienia do długości podstawy w jednym trójkącie wynosi 5:8, a w drugim 13:10. Jakie obwody mają te trójkąty jeżeli suma ich pól jest najmniejsza z możliwych?

Spośród wszystkich trapezów, w których iloczyn długości podstaw jest równy k , a pole jest równe S wybrano ten, który ma najdłuższą wysokość. Wykaż, że przekątne wybranego trapezu dzielą się na połowy.

W kwadracie ABCD o boku długości 1 na boku AB wybrano punkt L . Na bokach BC i AD wybrano odpowiednio punkty M i K tak, że ∡KLM = 1 20∘ , a dwusieczna tego kąta jest równoległa do boku BC . Oblicz długości odcinków LK i LM , dla których pole trójkąta KLM jest największe.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

  • Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości b ramienia, wyraża się wzorem (18−-2b)⋅√18b−81- P (b) = 2 .
  • Wyznacz dziedzinę funkcji P .
  • Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Działka ma kształt trapezu. Podstawy AB i CD tego trapezu mają długości |AB | = 400 m oraz |CD | = 100 m . Wysokość trapezu jest równa 75 m, a jego kąty DAB i ABC są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie AB tego trapezu, a dwa pozostałe – E oraz F – na ramionach AD i BC trapezu (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.

Ukryj Podobne zadania

Działka ma kształt trapezu. Podstawy AB i CD tego trapezu mają długości |AB | = 315 m oraz |CD | = 72 m . Wysokość trapezu jest równa 54 m, a jego kąty DAB i ABC są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie AB tego trapezu, a dwa pozostałe – E oraz F – na ramionach AD i BC trapezu (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.

Budżet przeznaczony na ogrodzenie pewnej działki w kształcie trójkąta równoramiennego ABC (|AC | = |BC | ) wynosi 12 000 zł.

PIC

Ze względu na warunki terenowe, koszt wykonania 1 metra bieżącego ogrodzenia jest różny dla każdego z boków trójkąta ABC i wynosi odpowiednio: 140 zł dla boku AC , 100 zł dla boku BC i 360 zł dla boku AB . Oblicz jakie powinny być wymiary ogrodzenia, aby odgradzało ono działkę o największym możliwym polu powierzchni. Wymiary podaj z dokładnością do 1 metra.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne ABC o przeciwprostokątnej AB i obwodzie równym 4. Niech x = |AC | .

  • Wykaż, że pole P trójkąta ABC jako funkcja zmiennej x jest określone wzorem
    x(4 − 2x) P(x) = ---------- 4− x
  • Wyznacz dziedzinę funkcji P .
  • Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.
Ukryj Podobne zadania

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty ABCD , w których suma długości dwóch sąsiednich boków i przekątnej jest równa 6. Niech x = |AB | .

  • Wykaż, że pole P prostokąta ABCD jako funkcja zmiennej x jest określone wzorem
    x(1 8− 6x ) P (x) = ----------- 6− x
  • Wyznacz dziedzinę funkcji P .
  • Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych prostokątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

W trójkąt prostokątny ABC , w którym |AB | = 2 6 , |BC | = 24 , |AC | = 10 , wpisujemy prostokąty CDEF , tak, że punkt D należy do boku AC , pkt E należy do boku AB i punkt F należy do boku BC . Oblicz wymiary prostokąta o największym polu.

Przedstawiona na rysunku figura składa się z półkola i prostokąta. Oblicz maksymalne pole tej figury, jeżeli jej obwód jest równy k .

PIC

Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po 4 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, czyli aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.

Ukryj Podobne zadania

Rozważamy zbiór wszystkich trapezów równoramiennych, których krótsza podstawa i ramiona mają długość 6. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby jego pole było największe. Oblicz to pole.

Betonowy kanał wodny ma mieć przekrój w kształcie trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po 2 m. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby przez kanał mogło przepłynąć jak najwięcej wody, czyli aby pole powierzchni przekroju kanału było największe. Oblicz to pole przekroju.

PIC

Długości boków prostokąta ABCD spełniają warunki: 2|AD | ≤ |CD | i |CD | = 3 . Na boku CD wybrano punkty E i F w ten sposób, że |DE | = |FC | = |AD | . Punkt G jest takim punktem odcinka AE , że |AG | : |GE | = 2 : 1 . Oblicz długość boku AD prostokąta, dla której pole trójkąta F GB jest największe.

Dany jest romb ABCD o boku długości 1, w którym kąt BAD jest ostry i sin ∡BAD = 17 . Na bokach AB ,AD i BC wybrano odpowiednio punkty K ,L i M w ten sposób, że odcinki KL i KM są równoległe do przekątnych rombu.

  • Oblicz pole czworokąta CDLM .
  • Oblicz największą możliwą wartość pola trójkąta KLM .
Strona 2 z 3