Zadania na ekstrema/Planimetria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema

Na bokach BC ,CA i trójkąta ABC wybrano punkty K,L ,M takie, że

BK--= CL--= AM---= k,gdzie k ∈ (0,+ ∞ ). KC LA MB

Wyznacz wartość , dla której stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC jest najmniejszy.

Wyznacz wymiary prostokąta o obwodzie 36 cm, którego pole jest największe.

Ukryj Podobne zadania

Z drutu o długości 320 cm zbudowano ramkę w kształcie prostokąta. Jakie powinna mieć wymiary aby pole prostokąta było największe?

Z drutu o długości 200 cm zbudowano ramkę w kształcie prostokąta. Jakie powinna mieć wymiary aby pole prostokąta było największe?

Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego przekątna ma długość 6 dm. Oblicz, jakie jest największe możliwe pole powierzchni tego okna.

Ukryj Podobne zadania

Rozpatrujemy trapezy równoramienne ABCD o przekątnej długości 1 i sumie długości podstaw równej . Zapisz pole trapezu ABCD jako funkcję zmiennej . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz sumę długości podstaw tego z rozważanych trapezów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 2 60 cm . Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

Ukryj Podobne zadania

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego placu zabaw, tak aby szerokość trawnika wzdłuż dłuższych brzegów placu była równa 1,5 m, a szerokość trawnika wzdłuż krótszych brzegów placu była równa 2,5 m (zobacz rysunek – plac zabaw zaznaczono kolorem szarym). Sam plac zabaw ma mieć powierzchnię 2 15 00 m . Wyznacz takie wymiary placu zabaw, przy których powierzchnia placu wraz z trawnikami jest najmniejsza.

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy i wysokości trapezu jest równa 2.

Wyznacz wszystkie wartości , dla których istnieje trapez o podanych własnościach.
Wykaż, że obwód takiego trapezu, jako funkcja długości dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem
Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.

Ukryj Podobne zadania

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, i w których suma długości dłuższej podstawy i średnicy okręgu wpisanego jest równa 6. Wyznacz wymiary tego spośród tych trapezów, który ma najmniejszy obwód. Oblicz ten obwód.

Oblicz jakie długości powinny mieć boki prostokąta o polu równym , aby jego przekątna miała najmniejszą możliwą długość. Oblicz długość tej przekątnej.

Suma długości dwóch boków trójkąta jest równa 4, a kąt zawarty między nimi ma miarę 6 0∘ . Oblicz najmniejszą możliwą wartość obwodu trójkąta.

Ukryj Podobne zadania

Suma długości dwóch boków trójkąta wynosi 6 cm, a miara kąta pomiędzy tymi bokami wynosi 60∘ . Jaką najmniejszą wartość ma obwód tego trójkąta.

Wykaż, że dla dowolnych liczb nieujemnych i spełniona jest nierówność
$a-+-b- √ --- 2 ≥ ab$
W zbiorze prostokątów wpisanych w okrąg o promieniu znajdź prostokąt o największym polu.

Dany jest okrąg o środku i promieniu 18. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku i promieniu oraz drugi o środku i promieniu , o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:
– rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
– obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku i promieniu 18;
– punkty: S ,S1,S2 nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach a ,b,c można obliczyć ze wzoru Herona

∘ ----------------------- P = p(p − a)(p − b )(p − c),

gdzie – jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta SS 1S2 jako funkcję zmiennej . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Ukryj Podobne zadania

Dany jest okrąg o środku i promieniu 12. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku i promieniu oraz drugi o środku i promieniu , o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:
– rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
– obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku i promieniu 12;
– punkty: S ,S1,S2 nie leżą na jednej prostej.

Rozważamy wszystkie trapezy równoramienne o obwodzie równym 96 i kącie ostrym o mierze 30∘ .

Podaj wzór funkcji opisującej zależność pola takiego trapezu od długości jego ramienia.
Oblicz wymiary tego z rozważanych trapezów, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.

Cztery miasta A ,B,C i znajdują się w wierzchołkach kwadratu o boku 300 km. Pewna ﬁrma dostała zlecenie na zaprojektowanie sieci dróg, która będzie łączyć każde dwa z tych miast. Sieć ma posiadać dwa węzły, a łączna długość dróg w sieci ma być możliwie najmniejsza. Jeden z węzłów ma ma być połączony z miastami i , a drugi węzeł z miastami i (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz, jaka musi być długość najkrótszej takiej sieci dróg i gdzie muszą być zlokalizowane węzły tej sieci.

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 i 8 wpisujemy prostokąt w taki sposób, że dwa jego boki zawarte są w przyprostokątnych, a jeden z jego wierzchołków leży na przeciwprostokątnej. Zbadaj, jakie powinny być wymiary prostokąta, aby jego pole było możliwie największe.

Dany jest odcinek o długości 10. Rozpatrujemy wszystkie sześciokąty foremne ACDMEF i trójkąty równoboczne MBG , których wspólny wierzchołek leży na odcinku (zobacz rysunek).

Oblicz stosunek obwodu sześciokąta ACDMEF do obwodu trójkąta MBG w przypadku, gdy suma pól tych dwóch wielokątów jest najmniejsza.

Z odcinka drutu o długości 4 m wykonano ramkę w kształcie rombu z jedną przekątną (zobacz rysunek).

Jaka powinna być długość tej przekątnej, aby pole powierzchni tego rombu było największe możliwe?

Suma długości dwóch sąsiednich boków w pewnym trójkącie jest równa 14, a kąt między tymi bokami ma miarę π6- . Wyznacz długości boków trójkąta tak, aby jego pole było największe. Oblicz pole tego trójkąta.

W trójkąt prostokątny o kącie ostrym ∘ 30 i przeciwprostokątnej długości 40 cm wpisujemy prostokąty w ten sposób, że jeden bok każdego z tych prostokątów zawiera się w przeciwprostokątnej trójkąta. Zbadaj który z tych prostokątów ma największe pole.

Oblicz jaka może być najmniejsza możliwa długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o polu .

Na bokach prostokąta o obwodzie 16 cm opisano, jako na średnicach, półokręgi leżące na zewnątrz prostokąta. Zbadaj, dla jakich długości boków prostokąta, pole ﬁgury ograniczonej krzywą złożoną z tych czterech półokręgów jest najmniejsze. Oblicz to pole

Wewnątrz prostokąta ABCD o wymiarach |AB | = 8 i |AD | = 6 wybrano dwa punkty i takie, że MN ∥ AB oraz |AM | = |DM | = |NB | = |NC | . Przy jakiej odległości punktów i suma kwadratów długości odcinków AM ,DM ,MN ,NB ,NC jest najmniejsza?

Arkusz blachy ma kształt trójkąta prostokątnego ABC , w którym |AB | = 4 m i |BC | = 2 m . Z tego arkusza należy wyciąć trójkąt równoramienny DBE w ten sposób, że punkty i leżą odpowiednio na odcinkach i oraz |DE | = |BE | (zobacz rysunek).