Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema

Wyszukiwanie zadań

Boki AB i BC prostokąta ABCD mają długości 2 m i m odpowiednio, gdzie m jest ustaloną dodatnią liczbą rzeczywistą. Na bokach AB i AD wybrano odpowiednio punkty E i F w ten sposób, że |AE | = |DF |2 . Oblicz dla jakiej długości odcinka AE pole trójkąta ECF jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Rozpatrujemy wszystkie czworokąty ABCD , które są jednoczenie wpisane w okrąg i opisane na okręgu, w których |AB | = 2x , |BC | = 5x , i których obwód jest równy 10.

Pole czworokąta ABCD wpisanego w okrąg można obliczyć ze wzoru Brahmagupty

∘ ----------------------------- P = (p − a)(p − b)(p − c)(p − d ),

gdzie p – jest połową obwodu czworokąta.

Zapisz pole czworokąta ABCD jako funkcję zmiennej x . Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych czworokątów, którego pole jest największe.

Drut o długości 28 cm należy podzielić na dwie części i z jednej zrobić kwadratową ramkę, a z drugiej ramkę prostokątną, której jeden bok jest trzy razy dłuższy od drugiego. Jak należy podzielić drut, jeżeli chcemy, aby suma pól otrzymanego kwadratu i prostokąta była najmniejsza?

Suma długości dwóch boków trójkąta jest równa 12 cm, a kąt między tymi bokami ma miarę 1 20∘ . Oblicz jakie powinny być długości boków tego trójkąta aby jego pole było największe.

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech x oznacza długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

  • Wykaż, że pole P trapezu jako funkcja długości x odcinka łączącego środki ramion trapezu jest określone wzorem

    ∘ --------- P(x ) = x ⋅ 100 − x 2.

  • Wyznacz dziedzinę funkcji P(x) .

  • Oblicz długość x odcinka łączącego środki ramion tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne ABC (|AC | = |BC | ), na których opisano okrąg o promieniu R = 1 . Niech x oznacza odległość środka okręgu od podstawy AB trójkąta.

  • Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości x , wyraża się wzorem √ -----2- P(x) = (x+ 1) 1− x .
  • Wyznacz dziedzinę funkcji P .
  • Oblicz długość odcinka x tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.
Ukryj Podobne zadania

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ABC (|AB | = |AC | ), na których opisano okrąg o promieniu R = 2 . Niech d oznacza długość ramienia AB trójkąta.

  • Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości d , wyraża się wzorem 1- 3√ ------2- P(d) = 16d 16 − d .
  • Wyznacz dziedzinę funkcji P .
  • Oblicz długość ramienia d tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym 200 i kącie ostrym o mierze 30∘ .

  • Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości x boku równoległoboku.
  • Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.
Ukryj Podobne zadania

Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym 160 i kącie rozwartym o mierze 150∘ .

  • Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości x boku równoległoboku.
  • Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.

Ratownicy mający do dyspozycji linę o długości 80 metrów mają wytyczyć przy brzegu plaży kąpielisko w kształcie prostokąta (wzdłuż brzegu nie będzie liny). Jakie wymiary powinno mieć to kąpielisko, jeżeli wczasowicze chcą, aby miało ono jak największą powierzchnię? Należy przyjąć, że brzeg plaży tworzy linię prostą.

Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość 12 dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa 18 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.

Ukryj Podobne zadania

Z kawałka blachy należy wyciąć figurę w kształcie trapezu prostokątnego. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość 6 dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa 16 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni figury było największe. Oblicz to pole.

Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość 16 dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa 20 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.

Oblicz jaka może być najmniejsza możliwa długość boku BC trójkąta ABC jeżeli |∡BAC | = α i pole trójkąta ABC jest równe S .

Działka ma kształt trójkąta o podstawie |AB | = 400 m . Wysokość trójkąta opuszczona na podstawę AB jest równa 125 m, a jego kąty CAB i CBA są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie AB tego trójkąta, a dwa pozostałe – E oraz F – na bokach AC i BC trójkąta (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.

Obwód okna przedstawionego na rysunku wynosi 7 m. W jakim stosunku powinny pozostawać odcinki a i b , aby przez okno wpadało jak najwięcej światła?

PIC

Dany jest trójkąt, w którym suma długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok jest równa 8. Funkcja f przyporządkowuje długości tego boku – pole trójkąta. Wyznacz wzór tej funkcji, jej dziedzinę, największą wartość, oraz zbiór wartości funkcji.

Suma długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa 7. Jaka jest najmniejsza możliwa długość przeciwprostokątnej tego trójkąta?

Obwód trójkąta równobocznego ABC jest równy 12 cm. Punkty M , N i P należą odpowiednio do boków AB , BC , AC tego trójkąta przy czym |AM | = |BN | = |CP | = x . Zbadaj dla jakiej wartości x , pole trójkąta MNP będzie najmniejsze. Znajdź wartość tego pola.

Suma długości dwóch boków trójkąta równa się 4, a kąt między tymi bokami ma miarę 1 20∘ . Oblicz najmniejszą wartość sumy kwadratów długości wszystkich boków tego trójkąta.

Dany jest równoramienny trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna ma długość 2. Bok AB prostokąta ABCD zawiera się w przeciwprostokątnej tego trójkąta, zaś punkty C i D należą do przyprostokątnych. Oblicz długości boków prostokąta ABCD wiedząc, że kwadrat długości jego przekątnej AC ma wartość najmniejszą z możliwych.

Strona 3 z 3