Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Parabola

Wyszukiwanie zadań

Funkcja f określona jest wzorem 2 f(x ) = 3x − 9x + c , gdzie c ∈ R . Wyznacz wszystkie wartości współczynnika c , dla których:

  • jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 2;
  • wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f , należy do prostej o równaniu y = x .

Wykresem funkcji f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W (1,4) . Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale ⟨− 2,2⟩ wynosi -5.

  • Przedstaw wzór funkcji f w postaci iloczynowej.
  • Rozwiąż nierówność f(x) < 0 .

Dana jest funkcja 2 2 f(x ) = x + xsin α− 2π , dla α ∈ ⟨0,2π ⟩ .

  • Wyznacz wszystkie wartości parametru α , dla których osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta x = − 1 2 .
  • Wykaż, że nie istnieje taka wartość parametru α , dla której do wykresu funkcji f należy punkt P = (1,− 2π ) .

Naszkicuj 2 f(x) = x oraz g (x) = x + 3 i na ich podstawie określ liczbę pierwiastków równania x2 = x + 3 oraz znaki tych pierwiastków.

Do wykresu funkcji kwadratowej y = f(x) należą punkty A (− 1,− 1) oraz O (0,0) , który jest wierzchołkiem paraboli.

PIC

Wykres ten przesunięto w taki sposób, że otrzymano wykres funkcji g , której miejscami zerowymi są liczby 3 i 7.

  • Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji g .
  • Narysuj wykres funkcji y = g (x) .
  • Rozwiąż nierówność g(x) ≤ 1 0x− 25 .

Dana jest funkcja kwadratowa f , której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

PIC

Rozwiąż nierówność f (x ) ≤ 0 .

Ukryj Podobne zadania

Dana jest funkcja kwadratowa f , której fragment wykresu przedstawiono na rysunku poniżej. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

PIC

Rozwiąż nierówność f (x ) > 0 .

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f , oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

ZINFO-FIGURE

Zapisz poniżej w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne.

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) za pomocą fragmentów wykresów funkcji f oraz g (zobacz rysunek).

PIC

Funkcje f oraz g są określone wzorami f (x) = x2 oraz ( )2 g(x) = − 1 x− 1 + 4 2 2 . Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P = (−1 ,1) . Niech R będzie punktem leżącym na wykresie funkcji g . Wykaż, że odległość punktu R od punktu P wyraża się wzorem

∘ -------------------------------- 1 1 13 39 593 |PR | = -x 4 − -x3 − ---x2 + ---x+ ----, 4 2 8 8 6 4

gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R .

Ukryj Podobne zadania

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) za pomocą fragmentów wykresów funkcji f oraz g (zobacz rysunek).

PIC

Funkcje f oraz g są określone wzorami f(x) = − 12(x− 1)2 + 72 oraz g (x ) = 1 (x− 5)2 − 25 4 2 16 . Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P = (4,− 1) . Niech R będzie punktem leżącym na wykresie funkcji f . Wykaż, że odległość punktu R od punktu P wyraża się wzorem

∘ --------------------- 1 |P R| = -x 4 − x 3 − 2x 2 + 3 2, 4

gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R .

W parku krajobrazowym znajduje się zbiornik wodny, którego dwa brzegi postanowiono połączyć pomostem. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej zbiornika w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) za pomocą fragmentów wykresów funkcji f oraz g , które odpowiadają przeciwległym brzegom zbiornika (zobacz rysunek).

PIC

Funkcje f oraz g są określone wzorami ( )2 f(x ) = 12 x− 32 − 3 oraz g (x) = 1 (x− 1)2 + 1 4 . Jeden z końców pomostu postanowiono zlokalizować na brzegu opisanym funkcją g w punkcie o współrzędnych P = (3,2) . Niech R będzie punktem leżącym na wykresie f . Wykaż, że odległość punktu R od punktu P wyraża się wzorem

∘ -------------------------------- 1- 4 3-3 5- 2 45- 1537- |PR | = 4x − 2x − 8 x + 8 x + 64 ,

gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R .

Wykresem funkcji kwadratowej 2 f(x ) = 2x + bx + c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W = (4,0) . Oblicz wartości współczynników b i c .

Ukryj Podobne zadania

Wykresem funkcji kwadratowej 2 f(x) = − 2x + bx + c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W = (− 3,1) . Oblicz wartości współczynników b i c .

Funkcja kwadratowa f , której miejscami zerowymi są liczby − 4 i 6, dla argumentu 1 przyjmuje wartość 2 12 . Uzasadnij, że wykres funkcji f ma dwa punkty wspólne z prostą y = 2 .

Ukryj Podobne zadania

Funkcja kwadratowa f , której miejscami zerowymi są liczby − 5 i 7, dla argumentu 1 przyjmuje wartość − 3 . Uzasadnij, że wykres funkcji f ma dwa punkty wspólne z prostą y = − 2 .

Wykresy funkcji kwadratowych 2 f(x ) = 3x − 2mx − m oraz 2 g (x) = mx + x + 3 , dla m ⁄= 0 , przecinają się w dwóch punktach. Wyznacz wszystkie wartości m , dla których iloraz sumy odciętych tych punktów przez ich iloczyn jest o 18 mniejszy od największej wartości funkcji g .

Wykres funkcji f , określonej dla x ∈ R następującym wzorem

2 f(x) = (a− 3 )x − 2ax + 3a − 6

przecina dodatnią półoś Ox w dwóch różnych punktach.

  • Oblicz wartość wyrażenia |(a−-1)(8−a)(a−7)(2a−3)| (a− 1)(8−a)(a−7)(2a−3) .
  • Uzasadnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych m > n > 0 spełniona jest nierówność 2 2 f(−m ) > f(−n ) .

Dla jakich wartości parametru m ∈ R wierzchołek paraboli y = x2 + 2(m + 1 )x+ m − 4 leży najbliżej prostej y = − 4 ?

Ukryj Podobne zadania

Na rysunku przedstawiono fragmenty wykresów funkcji kwadratowej oraz trzech funkcji liniowych. Zaznaczono również niektóre punkty szczególne tych wykresów: A = (0,2) , B = (3,5) i C = (4,2) . Wyznacz współrzędne punktów D ,E i F .

PIC

Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem 2 f(x ) = − (x− 2) + 4 .

  • podaj współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.
  • podaj zbiór wartości tej funkcji.
  • podaj równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji.
  • podaj wzór tej funkcji w postaci ogólnej.
Ukryj Podobne zadania

Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem 2 f(x ) = 2(x − 1) + 3 .

  • podaj współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.
  • podaj zbiór wartości tej funkcji.
  • podaj równanie osi symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji.
  • podaj wzór tej funkcji w postaci ogólnej.

Wyznacz współczynniki a i b funkcji kwadratowej 2 f(x) = ax + bx − 4 , jeśli współrzędne wierzchołka wynoszą W (− 3,2) . Przedstaw trójmian w postaci iloczynowej.

Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej podaj jej wzór w postaci ogólnej, kanonicznej oraz iloczynowej.

PIC

Dana jest funkcja 2 f(x ) = −x + 6x − 5 .

  • Narysuj parabolę, która jest wykresem funkcji f i zaznacz na rysunku współrzędne jej wierzchołka oraz punktów przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych.
  • Odczytaj z wykresu zbiór wartości funkcji f .
  • Rozwiąż nierówność f(x) ≥ 0 .
PIC

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) przedstawiono oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej f (x) = ax 2 + bx + c . Przedstawiono również prostą y = − 3 , z którą wykres funkcji y = f(x) ma dokładnie jeden punkt wspólny, oraz jeden z punktów tego wykresu – A = (− 2,4)

PIC

Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności f(x) ≥ 4 .

Strona 3 z 3