W liczbach całkowitych/Równania - zadania z matematyki - Zadania.info, 709

/Konkursy/Zadania/Równania/W liczbach całkowitych

Uzasadnij, że równanie 3 x(x+ 1)(x + 2) = 20 06 nie ma pierwiastków całkowitych.

Wyznacz wszystkie liczby naturalne dodatnie , dla których równanie x 2 + x + 1 = k2 ma pierwiastki będące liczbami całkowitymi.

Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych (k,n) spełniających równość kn + k = n3 − n2 − 1 .

Wyznacz wszystkie pary (x,y) , gdzie i są liczbami całkowitymi spełniającymi równanie

1-+ 1-+ 1--= 1. x y xy 2

Liczby naturalne i spełniają równość 34a = 43b . Udowodnij, że liczba a + b jest złożona.

Wyznacz wszystkie liczby całkowite x ,y spełniające równanie x + y + xy = 40 .

Ile jest takich czwórek liczb całkowitych i dodatnich (a,b,c,d) , które spełniają równanie ab + bc + cd + da = 1004 .

Uzasadnij, że równanie 3 x (x+ 1)(x + 2) = y nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich x,y .

Wykaż, że jeżeli liczby całkowite i spełniają równanie

2 2 a = 3b + 9

to liczba dzieli się przez 3, a liczba nie dzieli się przez 9.

Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich a > b , dla których

(2a+ b)(a+ 2b) = 56 .

Iloczyn trzech liczb pierwszych jest pięć razy większy od ich sumy. Wyznacz te liczby.

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze i liczby naturalne spełniające równość

n(n − 1) = 2p .

Wykaż, że równanie 2 2 6x + 14 = 21y nie ma rozwiązań całkowitych.