Pole/Udowodnij.../Dowolny - zadania z matematyki

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Pole

Wyszukiwanie zadań

W trójkącie $ABC$ poprowadzono odcinki $AD ,BE$ i $CF$ w ten sposób, że punkty $D ,E$ i $F$ są środkami odpowiednio odcinków $BE ,CF$ i $AD$ . Wykaż, że pole trójkąta $DEF$ jest siedem razy mniejsze od pola trójkąta $ABC$ .

Rozwiązanie (1511586)

Na bokach trójkąta $ABC$ zbudowano kwadraty $ABKL$ , $BCMN$ i $CAOP$ (zobacz rysunek).

Kąty $BAC$ i $ABC$ są ostre oraz suma ich tangensów jest równa $52$ . Wykaż, że jeżeli pole kwadratu $ABKL$ jest pięć razy większe od pola trójkąta $ABC$ , to suma pól kwadratów $BCMN$ i $CAOP$ też jest pięć razy większa od pola trójkąta $ABC$ .

Rozwiązanie (1551878)

W trójkącie $ABC$ bok $AC$ ma długość $b$ , $|∡BAC | = α$ oraz $|∡ABC | = β$ . Wykaż, że pole trójkąta $ABC$ jest równe

2 2 2 b-sin--α-+ b--sin-2α-. 2 tgβ 4

Rozwiązanie (2357921)

Wykaż, że pole trójkąta o bokach $a,b,c$ i promieniu $R$ okręgu opisanego na nim jest równe $a4bRc$ .

Rozwiązanie (2918993)

Ukryj

Wykaż, że pole trójkąta $ABC$ jest równe $2 P = 2R ⋅sin α ⋅sinβ ⋅sin γ$ , gdzie $R$ jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie, a $α,β$ i $γ$ są miarami kątów wewnętrznych tego trójkąta.

Rozwiązanie (7519997)

Na bokach $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ obrano punkty $P$ i $Q$ takie, że $|AP | : |PC | = 2 : 1$ oraz $|BQ | : |QC | = 2 : 1$ . Odcinki $AQ$ i $BP$ przecinają się w punkcie $R$ . Wykaż, że pole czworokąta $CP RQ$ jest równe polu trójkąta $ARP$ .

Rozwiązanie (3515923)

Uzasadnij wzór na pole trójkąta $h2sin(α+β)- P = 2sin αsin β$ , gdzie $α$ i $β$ są miarami kątów trójkąta przyległych do boku, na który opuszczono wysokość $h$ .

Rozwiązanie (4502334)

Punkty $K$ i $M$ oraz $L$ i $N$ dzielą odpowiednio boki $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ w stosunku $1 : 1 : 2$ (zobacz rysunek). Odcinki $KN$ i $LM$ przecinają się w punkcie $S$ .

Uzasadnij, że pola trójkątów $KMS$ i $LNS$ są równe.

Rozwiązanie (4868105)

Punkty $D$ i $E$ dzielą bok $BC$ trójkąta $ABC$ na trzy równe części (zobacz rysunek). Wykaż, że pole trójkąta $ADE$ jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta $ABC$ .

Rozwiązanie (6301750)

Dany jest trójkąt $ABC$ . Na boku $AB$ tego trójkąta obrano punkty $D ,E$ i $F$ tak, że $|AD | = |DE | = |EF| = 2|F B|$ . Na bokach $AC$ i $BC$ obrano – odpowiednio – punkty $G$ i $H$ tak, że $DG ∥ EC$ oraz $FH ∥ EC$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta $F BH$ jest równe $S$ , to pole trójkąta $ADG$ jest równe $3S$ .

Rozwiązanie (8666271)

Ukryj

Dany jest trójkąt $ABC$ . Na boku $AB$ tego trójkąta obrano punkty $D ,E$ i $F$ tak, że $|AD | = |DE | = |EF| = 3|F B|$ . Na bokach $AC$ i $BC$ obrano – odpowiednio – punkty $G$ i $H$ tak, że $DG ∥ EC$ oraz $FH ∥ EC$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta $ADG$ jest równe $S$ , to pole trójkąta $F BH$ jest równe $1 6S$ .