Trójkąt/Planimetria/Geometria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego ABC ma miarę ∘ 30 . Uzasadnij, że pole trójkąta jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta równobocznego o boku równym podstawie trójkąta ABC .

Z wierzchołka kąta prostego trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono wysokość , która podzieliła przeciwprostokątną na odcinki o długościach 32 cm i 18 cm (zobacz rysunek).

Oblicz pole trójkąta ABC .

W trójkąt równoramienny ABC ( |AC | = |BC | ) wpisano okrąg o środku . Punkty wspólne okręgu i trójkąta oznaczono literami , i . Uzasadnij, że trójkąty ASM i PBS są przystające.

Ze środka ciężkości trójkąta równobocznego o boku , wykreślono okrąg o promieniu . Oblicz pole części koła nie należącego do trójkąta.

W okrąg wpisany jest trójkąt ABC , przy czym ∡B = β i ∡C = γ < β . Oblicz miarę kąta między prostą i styczną do okręgu w punkcie .

Dane są długości boków i trójkąta. Znajdź długość trzeciego boku, jeżeli kąt leżący naprzeciw tego boku jest dwa razy większy od kąta leżącego naprzeciw boku .

Trójkąt prostokątny ABC ma boki długości 3, 4, 5. Oblicz promień okręgu stycznego do przeciwprostokątnej i prostych będących przedłużeniami przyprostokątnych.

Na wysokości trójkąta ABC wybrano punkt taki, że |P D | = |P E| , gdzie i są rzutami tego punktu odpowiednio na boki i . Wiedząc, że -- tg ∡ABC = 2 √ 2 oblicz iloraz |BE|- |EC| .

W okrąg o promieniu 4 wpisano trójkąt ABC . Długość boku jest równa 6. Bok ma długość √ -- 4 3 i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta. Oblicz długość boku trójkąta ABC .

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie.

Rozważmy trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku . Niech każdy z boków tego trójkąta: CA , AB , BC będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio: CAW 1 , ABW 2 , BCW 3 . Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach, odpowiednio przy wierzchołkach: W 1, W 2, W 3 .

ZINFO-FIGURE

Pola trójkątów: CAW 1 , ABW 2 , BCW 3 oznaczymy odpowiednio jako P 1,P 2,P3 . Udowodnij, że

P = P + P 3 1 2

W trójkącie równoramiennym ABC ( |AC | = |BC | ) miara kąta ∡ACB jest równa . Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość . Oblicz długości boków trójkąta ABC .

Wierzchołki i trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu . Środek tego okręgu leży na boku tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej). Długości boków i są równe odpowiednio |AB | = 3r oraz √ -- |AC | = 3r .

ZINFO-FIGURE

Oblicz miary wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ABC .

Udowodnij, że jeżeli w trójkącie dwa kąty nie są równe, to naprzeciw większego z nich leży dłuższy bok.

Wykaż, że pole trójkąta o bokach a,b,c i promieniu okręgu opisanego na nim jest równe a4bRc .

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że pole trójkąta ABC jest równe 2 P = 2R ⋅sin α ⋅sinβ ⋅sin γ , gdzie jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie, a α,β i są miarami kątów wewnętrznych tego trójkąta.

Długości boków trójkąta są w stosunku 2 : 3 : 4. Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.

Ukryj Podobne zadania

W trójkącie ABC bok jest 3 razy dłuższy od boku , a długość boku stanowi długości boku . Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta ABC .

W trójkącie ABC bok jest 3 razy krótszy od boku , a długość boku stanowi długości boku . Oblicz cosinus największego kąta trójkąta ABC .

Dany jest trójkąt ABC o bokach długości: |AB | = 4 , |BC | = 5 , |AC | = 6 . Oblicz sinus najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta ABC .

Dany jest trójkąt ABC . Punkt jest środkiem boku tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów i od prostej są równe.

Ukryj Podobne zadania

Na boku trójkąta ABC wybrano punkt w ten sposób, że odległości punktów i od prostej są równe (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty ADC i BDC mają równe pola.

Na trójkącie równobocznym opisano drugi trójkąt równoboczny tak, że wierzchołki pierwszego trójkąta leżą na bokach drugiego. Boki obydwu trójkątów tworzą kąty 30∘ . Jakim procentem pola małego trójkąta jest pole dużego trójkąta?

W trójkącie równoramiennym ABC , w którym |AC | = |BC | i |AB | = 10 , poprowadzono dwusieczną kąta BAC przecinająca bok w punkcie . Wówczas okazało się, że |AD | = |AB | = |CD | .

Wyznacz miary kątów trójkąta .
Oblicz długość ramienia .
Oblicz .

Okrąg przechodzący przez końce przyprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC przecina drugą przyprostokątną oraz przeciwprostokątną tego trójkąta odpowiednio w punktach i . Wykaż, że promień okręgu opisanego na trójkącie AF E jest równy 1|AE | 2 .

Strona 5 z 24