Trójkąt/Planimetria/Geometria - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Trójkąt ABC jest ostrokątny oraz |AC | > |BC | . Dwusieczna kąta ACB przecina bok w punkcie . Punkt jest obrazem punktu w symetrii osiowej względem dwusiecznej kąta BAC , punkt jest obrazem punktu w symetrii osiowej względem dwusiecznej d C kąta ACB , a punkt jest obrazem punktu w symetrii osiowej względem dwusiecznej kąta ABC (zobacz rysunek).

Udowodnij, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.

Ukryj Podobne zadania

Na bokach , i trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty K,L i w ten sposób, że |BK | = |BL | i |CL | = |CM | . Okrąg opisany na trójkącie KLM przecina bok tego trójkąta w punkcie takim, że |AN | < |AK | (zobacz rysunek).

Udowodnij, że |AN | = |AM | .

W trójkącie ABC bok ma długość 8, a bok ma długość 10. Dwusieczna kąta ABC przecina bok w punkcie takim, że |CD | = 9 (zobacz rysunek).

Oblicz długość odcinka .

W trójkącie ABC bok ma długość , |∡BAC | = α oraz |∡ABC | = β . Wykaż, że pole trójkąta ABC jest równe

2 2 2 b-sin--α-+ b--sin-2α-. 2 tgβ 4

Trójkąty ABC i ADE są równoboczne (zobacz rysunek). Punkty A ,D i leżą na jednej prostej. Punkty K ,L i są środkami odcinków AB ,CE i . Wykaż, że |∡KLM | = 60∘ .

Dany jest trójkąt ABC , w którym |AC | = |BC | = 10 , ∘ |∡ACB | = 1 20 . Na boku obrano punkt dzielący ten bok w stosunku 3:2 (licząc od punktu ). Oblicz sinus kąta PAB .

Ukryj Podobne zadania

W trójkącie równoramiennym ABC : |AC | = |BC | = 10 , a miara kąta ABC jest równa 30∘ . Na boku wybrano punkt , taki, że |BP|= 2 |PC| 3 . Oblicz sinus kąta (zobacz rysunek).

Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki długości 1 cm i 49 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 5 i 12 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.

Ukryj Podobne zadania

Przez wierzchołek kąta prostego trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 8 i 15 poprowadzono prostą, która dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych obwodach. Znajdź stosunek promieni okręgów wpisanych w otrzymane z podziału trójkąty.

Długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o obwodzie 90 jest liczbą całkowitą i jest o 1 większa od długości jednej z przyprostokątnych. Oblicz pole tego trójkąta.

Podstawa trójkąta równoramiennego ABC ma długość 8 oraz |∡BAC | = 30∘ . Oblicz długość środkowej tego trójkąta.

Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku jest prosty). Wykaż, że |AD | = |BE | .

Ukryj Podobne zadania

Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i ADE są położone tak, jak na poniższym rysunku.

Wykaż, że √ -- |BD | = 2 ⋅|CE | .

Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek sinβ+-sinγ- sin α = cosβ+ cos γ to trójkąt ten jest prostokątny.

Na boku trójkąta ABC wybrano punkt w ten sposób, że |AD | = 3|BD | = 3 . Bok tego trójkąta ma długość 2. Oblicz stosunek długości odcinków i .

ZINFO-FIGURE

Oto w jaki sposób można uzasadnić, że suma odległości dowolnego punktu wewnątrz trójkąta równobocznego od boków tego trójkąta jest stała, tzn. nie zależy od wyboru tego punktu.

Łączymy punkt z wierzchołkami trójkąta i zapisujemy równość pól
$PABC = PABP + PBCP + PCAP .$
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta
$1 1 1 1 1 -ah = -ah 1 + -ah2 + --ah3 = --a(h1 + h2 + h3). 2 2 2 2 2$
Wnioskujemy, że , a więc suma ta nie zależy od wyboru punktu .

Postępując w analogiczny sposób wykaż, że suma odległości dowolnego punktu wewnątrz czworościanu foremnego od jego ścian jest stała, to znaczy nie zależy od wyboru punktu .

Trójkąt ostrokątny, którego boki mają długości 17 i 16 ma pole równe 64. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Jeden z kątów trójkąta prostokątnego ma miarę ∘ 60 , promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 1. Oblicz długości boków trójkąta.

Oblicz pole trójkąta równoramiennego ABC (patrz rysunek, |AC | = |BC | ), w którym wysokość |AE | = 8 , a długość odcinka |BE | = 6 .

Ukryj Podobne zadania

Oblicz pole trójkąta równoramiennego ABC (patrz rysunek, |AC | = |BC | ), w którym wysokość |AE | = 4 , a długość odcinka |BE | = 3 .

Korzystając z własności trójkąta prostokątnego o kącie ostrym ∘ 45 oblicz tg 22,5∘ .

Kąt CAB trójkąta prostokątnego ABC ma miarę ∘ 30 . Odcinek jest wysokością tego trójkąta opuszczoną na przeciwprostokątną . Oblicz stosunek pól trójkątów ADC i CDB .

Punkt leży na boku trójkąta ABC oraz |AB | = 14 , |BD | = 1 2 , |CD | = 2 39 i √ --- |AC | = 4 15 ⋅|AD | . Oblicz pole trójkąta ABC .

Prosta równoległa do boku trójkąta ABC przecina boki oraz odpowiednio w punktach i (zobacz rysunek). Wiadomo, że pole trójkąta DEC wynosi 4 cm 2 , zaś pole trapezu ABED jest równe 8 cm 2 . Wykaż, że |AD-| √ -- |DC | = 3− 1 .

Ukryj Podobne zadania

Prosta równoległa do boku trójkąta ABC przecina boki oraz odpowiednio w punktach i (zobacz rysunek). Wiadomo, że pole trójkąta DEC wynosi 2 cm 2 , zaś pole trapezu ABED jest równe 8 cm 2 . Wykaż, że |AD-| √ -- |DC | = 5− 1 .

Strona 4 z 24