Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny

Wyszukiwanie zadań

W trójkącie ABC środkowa AD jest prostopadła do boku AC . Kąt BAC ma miarę 120∘ oraz |AB | = 2|AC | = 2a . Oblicz długość odcinka AD .

Dwa boki trójkąta ostrokątnego wpisanego w okrąg o promieniu R mają długości 32R i √ -- R 3 . Wykaż, że długość trzeciego boku wynosi --- R-(3+ √ 21) 4 .

Ukryj Podobne zadania

Trzy cięciwy okręgu o promieniu r tworzą trójkąt wpisany w ten okrąg. Dwie najkrótsze z tych cięciw mają długości 12r i √ -- r 3 . Wykaż, że trzecia cięciwa ma długość - 1+-3√5 4 r .

Wykaż, że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta to 2 2 1 2 a + b > 2c .

Ukryj Podobne zadania

Na bokach trójkąta zbudowano kwadraty o polach P 1,P 2 i P3 (zobacz rysunek)

PIC

Wykaż, że P 1 + P 2 > 12P3 .

Trójkąt podzielono odcinkami AD ,CE i DE na 5 trójkątów, przy czym |AE | : |EB | = 2 : 1 .

PIC

Korzystając z podanych pól trzech z tych trójkątów, wyznacz pole trójkąta DEB .

Długości dwóch boków trójkąta są równe 1 i 4, a miara kąta zawartego między nimi wynosi 6 0∘ .

  • Oblicz pole tego trójkąta.
  • Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
  • Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Styczna w punkcie A do okręgu opisanego na trójkącie ABC przecina prostą BC w punkcie E . Niech D będzie punktem przecięcia dwusiecznej kąta A z prostą BC . Udowodnić, że AE = ED .

W trójkącie ABC , o bokach długości a,b ,c , połączono odcinkiem wierzchołek A z punktem E na boku BC takim, że BE = p i EC = q . Uzasadnij, że jeżeli d = AE , to a(d2 + pq) = b2p + c2q (twierdzenie Stewarta).

W okrąg wpisano trójkąt ABC , w którym ∘ |∡A | = 50 i ∘ |∡B | = 70 . Przez wierzchołek kąta C poprowadzono styczną do okręgu, przecinającą przedłużenie boku AB w punkcie D . Oblicz miary kątów trójkąta BCD .

W trójkącie ABC wysokość CD dzieli bok AB na odcinki długości |AD | = 6 cm i DB = 16 cm . Bok BC ma 20 cm długości. Poprowadzono symetralną boku AB . Wyznacz długości odcinków, na jakie symetralna ta podzieliła bok BC .

Ukryj Podobne zadania

W trójkącie ABC wysokość CD dzieli bok AB na odcinki długości |AD | = 4 cm i DB = 10 cm . Bok BC ma 16 cm długości. Poprowadzono symetralną boku AB . Wyznacz długości odcinków, na jakie symetralna ta podzieliła bok BC .

W trójkącie ABC bok BC ma długość 24 cm. Oblicz obwód tego trójkąta, wiedząc, że miara kąta przy wierzchołku B jest równa 4 5∘ , a miara kąta przy wierzchołku A jest równa 60∘ .

Ukryj Podobne zadania

W trójkącie ABC bok BC ma długość 12 cm. Oblicz obwód tego trójkąta, wiedząc, że miara kąta przy wierzchołku B jest równa 4 5∘ , a miara kąta przy wierzchołku A jest równa 30∘ .

Wysokość CD trójkąta ABC tworzy z bokami AC i BC kąty o miarach równych odpowiednio 20∘ i 60 ∘ . Punkt A należy do odcinka DB .

  • Narysuj trójkąt ABC i jego wysokość CD .
  • Wyznacz miary kątów trójkąta ABC .

Dany jest trójkąt ABC . Na boku AB tego trójkąta obrano punkty D ,E i F tak, że |AD | = |DE | = |EF| = 2|F B| . Na bokach AC i BC obrano – odpowiednio – punkty G i H tak, że DG ∥ EC oraz FH ∥ EC (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta F BH jest równe S , to pole trójkąta ADG jest równe 3S .

PIC

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt ABC . Na boku AB tego trójkąta obrano punkty D ,E i F tak, że |AD | = |DE | = |EF| = 3|F B| . Na bokach AC i BC obrano – odpowiednio – punkty G i H tak, że DG ∥ EC oraz FH ∥ EC (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta ADG jest równe S , to pole trójkąta F BH jest równe 1 6S .

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeśli α i β są kątami trójkąta oraz sin-α sinβ cosβ = cosα to trójkąt ten jest równoramienny lub prostokątny.

Kąty w trójkącie mają miary: α, β = 2α, γ = 4α . Wykaż, że długości boków a, b, c tego trójkąta spełniają równość: 1a − 1b − 1c = 0 .

W trójkącie ostrokątnym ABC , którego pole równa się 16, boki AC i BC mają długości |AC | = 5 , |BC | = 8 . Oblicz długość boku AB .

Punkty K i L są środkami boków AC i BC trójkąta ABC . Odcinki AL i BK przecinają się w punkcie S .

PIC

Uzasadnij, że pola trójkątów ASK i BSL są równe.

Punkt S jest punktem przecięcia się wysokości trójkąta ostrokątnego ABC . Wykaż, że jeżeli |CS | = |AB | to |∡ACB | = 45∘ .

Środkowa trójkąta jest równa połowie boku, do którego została poprowadzona. Wykaż, że trójkąt ten jest prostokątny.

W trójkącie ostrokątnym ABC dane są |∡BAC = α| i |∡ABC | = β < α . Wykaż, że tangens kąta utworzonego przez środkową i wysokość opuszczone z wierzchołka C jest równy

--1---− --1---. 2tg β 2 tgα

Dany jest trójkąt o bokach długości 4 (podstawa trójkąta), 5 i 6 – boki trójkąta. Przez punkt przecięcia się środkowych trójkąta prowadzimy prostą równoległą do podstawy. Oblicz obwód trójkąta którego podstawą jest ta prosta.

Strona 9 z 11