Zadania.info Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Udowodnij.../Kąty

Wyszukiwanie zadań

W trójkącie ostrokątnym ABC bok AB ma długość c , długość boku AC jest równa b oraz |∡BAC | = α . Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC trójkąta w punkcie D i odcinek AD ma długość d . Wykaż, że

α- -d- d-- co s2 = 2b + 2c.

Wykaż, że istnieją dokładnie dwie liczby naturalne n takie, że trójkąt o bokach n ,n+ 2,n + 3 jest rozwartokątny.

Dany jest trójkąt ABC , w którym |AC | > |BC | . Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty D i E , że zachodzi równość |CD | = |CE | . Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że |∡BAC | = |∡ABC |− 2 |∡AF D | .

PIC

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt ABC , w którym |AC | > |BC | . Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty D i E , że zachodzi równość |CE | = |DE | . Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że |∡BCA | = |∡BAC |+ |∡AF D | .

PIC

Wykaż, że jeśli a,b,c są długościami boków trójkąta ostrokątnego takimi, że a < b < c oraz α,β,γ są miarami kątów tego trójkąta leżącymi odpowiednio na przeciwko boków a,b,c , to tg α < tg β < tgγ .

Wykaż, że jeżeli w trójkącie a √ -- b = 2 to 2 2 cos α = 2 cos β − 1 .

PIC

W trójkąt ABC , w którym |∡BAC | = α oraz |∡ABC | = β , wpisano okrąg. Punkty K ,L,M są punktami styczności okręgu odpowiednio z bokami AB , BC i AC . Wykaż, że |∡MKL | = α+β- 2 .

PIC

Wykaż, że jeżeli α,β ,γ są kątami wewnętrznymi trójkąta i 2 2 2 sin α+ sin β < sin γ , to cos γ < 0 .

Ukryj Podobne zadania

Wykaż, że jeżeli α ≤ β ≤ γ są kątami wewnętrznymi trójkąta rozwartokątnego, to

sin2 α < sin2γ − sin2 β.

Wierzchołek A trójkąta ostrokątnego ABC połączono odcinkiem ze środkiem O okręgu opisanego. Z wierzchołka A poprowadzono wysokość AH . Wykaż, że ∡BAH = ∡OAC .

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S . Kąty wewnętrzne CAB , ABC i BCA tego trójkąta są równe, odpowiednio, α, 2α i 4α . Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB , ASC i BSC tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

W trójkącie ABC przedłużono bok AB poza wierzchołek B i odłożono odcinek BD taki, że |BD | = |BC | . Następnie połączono punkty C i D (rysunek). Wykaż, że |∡CDA | = 12|∡CBA | .

PIC

Ukryj Podobne zadania

W trójkącie ABC przedłużono bok BC poza wierzchołek C i odłożono odcinek CD taki, że |CD | = |AC | . Następnie połączono punkty A i D (rysunek). Wykaż, że |∡ADB | = 12|∡ACB | .

PIC

Wykaż, że jeżeli α,β ,γ są kątami wewnętrznymi trójkąta i 2 2 2 sin α+ sin β = 5sin γ , to sin γ ≤ 35 .

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i B . Dwusieczne te przecinają się w punkcie P . Uzasadnij, że kąt AP B jest rozwarty.

Ukryj Podobne zadania

W trójkącie ostrokątnym ABC proste AH i BH zawierają wysokości poprowadzone z wierzchołków A i B . Uzasadnij, że kąt AHB jest rozwarty.

Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków AB i BC w punktach K i L odpowiednio. Na bokach AB i BC tego trójkąta wybrano punkty P i Q w ten sposób, że odcinek PQ jest styczny do okręgu wpisanego w trójkąt ABC (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |AP | = |AC | , 8 ⋅|BC | = 17⋅|P B| i 3⋅ |BK | = 25 ⋅|LQ | , to trójkąt BP Q jest rozwartokątny.

W trójkącie ostrokątnym ABC prawdziwa jest równość 2 2 |BC | − |AC | = |AB |⋅|AC | . Wykaż, że kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC .

Wykaż, że jeżeli α,β ,γ są kątami trójkąta, to

α β γ sinα + sin β + sin γ = 4co s--cos --cos -. 2 2 2

Wykaż, że jeśli a,b są długościami boków trójkąta ostrokątnego takimi, że a < b oraz α ,β są miarami kątów tego trójkąta leżącymi odpowiednio naprzeciwko boków a,b , to α < β .

Wykaż, że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta leżącymi naprzeciwko odpowiednio kątów o miarach α ≤ β ≤ γ to a ≤ b ≤ c .

Każdy kąt trójkąta ABC ma miarę mniejszą niż ∘ 120 . Udowodnij, że wewnątrz trójkąta ABC istnieje punkt P taki, że

|∡AP B| = |∡BP C| = |∡CPA | = 120∘.

Punkt S jest punktem przecięcia się wysokości trójkąta ostrokątnego ABC . Wykaż, że jeżeli |CS | = |AB | to |∡ACB | = 45∘ .

W trójkącie ostrokątnym ABC dane są |∡BAC = α| i |∡ABC | = β < α . Wykaż, że tangens kąta utworzonego przez środkową i wysokość opuszczone z wierzchołka C jest równy

--1---− --1---. 2tg β 2 tgα
Strona 1 z 2