Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Na bokach AB ,BC ,CA trójkąta równobocznego ABC wybrano kolejno punkty D ,E ,F tak, że DE ⊥ AB , EF ⊥ BC i FD ⊥ AC .


PIC


Wykaż, że trójkąt DEF jest trójkątem równobocznym o polu trzy razy mniejszym od pola trójkąta ABC .

Trójkąty ABC i ADE są równoboczne (zobacz rysunek). Punkty A ,D i C leżą na jednej prostej. Punkty K ,L i M są środkami odcinków AB ,CE i CD . Wykaż, że |∡KLM | = 60∘ .


PIC


Oto w jaki sposób można uzasadnić, że suma odległości dowolnego punktu P wewnątrz trójkąta równobocznego od boków tego trójkąta jest stała, tzn. nie zależy od wyboru tego punktu.


PIC


  • Łączymy punkt P z wierzchołkami trójkąta i zapisujemy równość pól
    PABC = PABP + PBCP + PCAP .
  • Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta
    1 1 1 1 1 -ah = -ah 1 + -ah2 + --ah3 = --a(h1 + h2 + h3). 2 2 2 2 2
  • Wnioskujemy, że h 1 + h 2 + h 3 = h , a więc suma ta nie zależy od wyboru punktu P .

Postępując w analogiczny sposób wykaż, że suma odległości dowolnego punktu P wewnątrz czworościanu foremnego od jego ścian jest stała, to znaczy nie zależy od wyboru punktu P .

W trójkąt równoboczny ABC wpisano trójkąt DEF (patrz rysunek), tak że |AD | = |BE | = |CF | . Udowodnij, że trójkąt DEF jest równoboczny.


PIC


Trójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A ,C i E leżą na jednej prostej. Punkty K ,L i M są środkami odcinków AC ,CE i BD (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty K ,L i M są wierzchołkami trójkąta równobocznego.


PIC


*Ukryj

Trójkąty ABC ,BDE i DF G są równoboczne oraz |AB | = |DF | . Punkty A ,B ,D ,F leżą na jednej prostej. Punkty K,L i M są środkami odcinków EC ,BD i EG . Wykaż, że punkty K ,L i M są wierzchołkami trójkąta równobocznego.


PIC


Trójkąty równoboczne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku. Wykaż, że |AD | = |BE | .


PIC


W trójkącie równobocznym ABC o boku długości a i wysokości h obrano punkt P , z którego poprowadzono odcinki prostopadłe do boków tego trójkąta. Wykaż, że suma długości tych odcinków jest równa długości h .

W trójkącie równobocznym ABC połączono środki wysokości otrzymując trójkąt P QR . Wykaż, że stosunek pola trójkąta P QR do pola trójkąta ABC jest równy 116- .

Uzasadnij, że trójkąt równoboczny nie jest figurą środkowosymetryczną.

Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz |CE | = 34|CD | . Punkt F leży na boku BC i odcinek EF jest prostopadły do BC (zobacz rysunek).


PIC


Wykaż, że |CF | = 196|CB | .

Na bokach trójkąta równobocznego ABC (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty ABDE ,CBGH i ACKL . Udowodnij, że trójkąt KGE jest równoboczny.


PIC


Na bokach trójkąta równobocznego zbudowano dwa kwadraty w sposób pokazany na rysunku.


PIC


Wykaż, że punkty A ,E i F są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B ,C,N są współliniowe. Na boku AC wybrano punkt M tak, że |AM | = |CN | . Wykaż, że |BM | = |MN | .


PIC


Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Okrąg o średnicy AB przecina bok BC w punkcie D .


PIC


Wykaż, że |CD | = |DB | .