Udowodnij.../Równoboczny - zadania z matematyki

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoboczny/Udowodnij...

Na bokach AB ,BC ,CA trójkąta równobocznego ABC wybrano kolejno punkty D ,E ,F tak, że DE ⊥ AB , EF ⊥ BC i FD ⊥ AC .

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że trójkąt DEF jest trójkątem równobocznym o polu trzy razy mniejszym od pola trójkąta ABC .

Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Na bokach i wybrano punkty – odpowiednio – i takie, że |BD | = |AE | = 13|AB | . Odcinki i przecinają się w punkcie (zobacz rysunek).

Wykaż, że pole trójkąta DBP jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta ABC .

Ukryj Podobne zadania

Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Na bokach i wybrano punkty – odpowiednio – i takie, że |CD | = |AE | = 14|AB | . Odcinki i przecinają się w punkcie (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że pole trójkąta AP E jest 52 razy mniejsze od pola trójkąta ABC .

Trójkąty ABC i ADE są równoboczne (zobacz rysunek). Punkty A ,D i leżą na jednej prostej. Punkty K ,L i są środkami odcinków AB ,CE i . Wykaż, że |∡KLM | = 60∘ .

Oto w jaki sposób można uzasadnić, że suma odległości dowolnego punktu wewnątrz trójkąta równobocznego od boków tego trójkąta jest stała, tzn. nie zależy od wyboru tego punktu.

Łączymy punkt z wierzchołkami trójkąta i zapisujemy równość pól
$PABC = PABP + PBCP + PCAP .$
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta
$1 1 1 1 1 -ah = -ah 1 + -ah2 + --ah3 = --a(h1 + h2 + h3). 2 2 2 2 2$
Wnioskujemy, że , a więc suma ta nie zależy od wyboru punktu .

Postępując w analogiczny sposób wykaż, że suma odległości dowolnego punktu wewnątrz czworościanu foremnego od jego ścian jest stała, to znaczy nie zależy od wyboru punktu .

W trójkąt równoboczny ABC wpisano trójkąt DEF (patrz rysunek), tak że |AD | = |BE | = |CF | . Udowodnij, że trójkąt DEF jest równoboczny.

Trójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A ,C i leżą na jednej prostej. Punkty K ,L i są środkami odcinków AC ,CE i (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty K ,L i są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Ukryj Podobne zadania

Trójkąty ABC ,BDE i DF G są równoboczne oraz |AB | = |DF | . Punkty A ,B ,D ,F leżą na jednej prostej. Punkty K,L i są środkami odcinków EC ,BD i . Wykaż, że punkty K ,L i są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Trójkąty równoboczne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku. Wykaż, że |AD | = |BE | .

W trójkącie równobocznym ABC o boku długości i wysokości obrano punkt , z którego poprowadzono odcinki prostopadłe do boków tego trójkąta. Wykaż, że suma długości tych odcinków jest równa długości .

W trójkącie równobocznym ABC połączono środki wysokości otrzymując trójkąt P QR . Wykaż, że stosunek pola trójkąta P QR do pola trójkąta ABC jest równy 116- .

Uzasadnij, że trójkąt równoboczny nie jest ﬁgurą środkowosymetryczną.

Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt leży na wysokości tego trójkąta oraz |CE | = 34|CD | . Punkt leży na boku i odcinek jest prostopadły do (zobacz rysunek).

Wykaż, że |CF | = 196|CB | .

Ukryj Podobne zadania

Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt leży na wysokości tego trójkąta oraz |CF | = 13|CD | . Punkt leży na boku i odcinek jest prostopadły do (zobacz rysunek).

Wykaż, że |CE | = 14|CA | .

Na bokach trójkąta równobocznego ABC (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty ABDE ,CBGH i ACKL . Udowodnij, że trójkąt KGE jest równoboczny.

Na bokach trójkąta równobocznego zbudowano dwa kwadraty w sposób pokazany na rysunku.

Wykaż, że punkty A ,E i są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B ,C,N są współliniowe. Na boku wybrano punkt tak, że |AM | = |CN | . Wykaż, że |BM | = |MN | .

Dany jest trójkąt równoboczny ABC . Okrąg o średnicy przecina bok w punkcie .

Wykaż, że |CD | = |DB | .