Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Wyszukiwanie zadań

Udowodnij, że jeżeli a ≥ b > 0 to (a+b-) √ --- (a−b-)2- 2 − ab ≥ 8a .

Uzasadnij, że jeżeli a,b,c,d są liczbami dodatnimi to

 √ ----- (a + b)(c + d) ≥ 4 abcd.

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych a,b prawdziwa jest nierówność

 ∘ -------- a+--b- a2 +-b2 2 < 2 .
*Ukryj

Wykaż, że jeśli x,y ∈ R to ∘ x2+y2- x+y --2-- ≥ --2- .

Uzasadnij, że jeżeli a,b,c,d są liczbami dodatnimi to

∘ -------------- √ --- √ --- (a+ c)(b+ d ) ≥ ab+ cd.
*Ukryj

Wykaż, że dla a,b,c,d > 0 prawdziwa jest nierówność √ ------√ ----- √ --- √ --- a+ b⋅ c + d ≥ ac+ bd .

Udowodnij, że dla dowolnych liczb nieujemnych a i b prawdziwa jest nierówność

 √ ---- 3a+--3b-≥ 2ab . 4

Wykaż, że jeżeli a > 1 to prawdziwa jest nierówność

∘ -50---- ∘ -50---- 25 a − 1+ a + 1 < 2a .

Wykaż, że dla każdej liczby a > 0 i dla każdej liczby b > 0 prawdziwa jest nierówność

√1-+ √1--≥ √---4-√--. a b a+ b

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b spełniona jest nierówność

∘ -4----4- ∘ -2----2- 4 a-+--b- ≥ a-+--b-. 2 2

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a,b,c,d prawdziwa jest nierówność

 √ --- √ --- a+--b+--c+-d- ≥ --ab-+---cd-. 4 2

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność √ -50---- √ -50---- 26 2 + 1+ 2 − 1 < 2 .

Wykaż, że dla dowolnych liczb ujemnych a,b spełniona jest nierówność

∘ -3----3- 3 a--+-b- ≤ a+--b. 2 2

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a,b prawdziwa jest nierówność

 ∘ --- ∘ --- √ -- √ -- a2- b2- a + b ≤ b + a .

Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają nierówności 0 < a < b < c , to

√3---- √ --- abc > ab.
  • Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb dodatnich a,b prawdziwa jest nierówność
     ∘ -------- a + b a2 + b2 ------< -------. 2 2
  • Wykorzystując nierówność z punktu a), wykaż, że prawdziwa jest nierówność
    ∘ -100---- ∘ -100---- 51 2 − 2+ 2 + 2 < 2 .

Wykaż, że jeżeli a,b > 0 to √ --- --2- ab ≥ 1a+1 b .

Wykaż, że jeżeli x,y,z są długościami boków trójkąta to √ 3(x+y +z) ∘ ------------ ----2-----> x 2 + y 2 + z2 .

Udowodnij, że dowolne liczby rzeczywiste x i m > 0 spełniają nierówność

 ∘ ---------- mx 2 + m + 1 ≥ 2x m (m + 1).

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a,b,c i d prawdziwa jest nierówność

 ∘ ------- ∘ ------- ac + bd ≤ a2 + b2 ⋅ c2 + d2.