Z pierwiastkami/Udowodnij... - zadania z matematyki - Zadania.info, 1433

Zadania.info

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

Rejestracja

Forum

Szukaj

Pomoc

Baza zawiera: 18820 zadań, 1150 zestawów, 35 poradników

cornersUpL

cornersUpR

random

Linki sponsorowane

cornersR

/Szkoła średnia/Nierówności/Udowodnij.../Z pierwiastkami

Wyszukiwanie zadań

Udowodnij, że jeżeli $a ≥ b > 0$ to $(a+b-) √ --- (a−b-)2- 2 − ab ≥ 8a$ .

Rozwiązanie (1068521)

Uzasadnij, że jeżeli $a,b,c,d$ są liczbami dodatnimi to

√ ----- (a + b)(c + d) ≥ 4 abcd.

Rozwiązanie (1093339)

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych $a,b$ prawdziwa jest nierówność

∘ -------- a+--b- a2 +-b2 2 < 2 .

Rozwiązanie (1660709)

Ukryj

Wykaż, że jeśli $x,y ∈ R$ to $∘ x2+y2- x+y --2-- ≥ --2-$ .

Rozwiązanie (9675808)

Uzasadnij, że jeżeli $a,b,c,d$ są liczbami dodatnimi to

∘ -------------- √ --- √ --- (a+ c)(b+ d ) ≥ ab+ cd.

Rozwiązanie (1705012)

Ukryj

Wykaż, że dla $a,b,c,d > 0$ prawdziwa jest nierówność $√ ------√ ----- √ --- √ --- a+ b⋅ c + d ≥ ac+ bd$ .

Rozwiązanie (5564957)

Udowodnij, że dla dowolnych liczb nieujemnych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność

√ ---- 3a+--3b-≥ 2ab . 4

Rozwiązanie (1907545)

Ukryj

Wykaż, że dla dowolnej liczby dodatniej $x$ prawdziwa jest nierówność

2 √ -- x + 2x > 2x x.

Rozwiązanie (4085373)

Wykaż, że jeżeli $a > 1$ to prawdziwa jest nierówność

∘ -50---- ∘ -50---- 25 a − 1+ a + 1 < 2a .

Rozwiązanie (4321609)

Wykaż, że dla każdej liczby $a > 0$ i dla każdej liczby $b > 0$ prawdziwa jest nierówność

√1-+ √1--≥ √---4-√--. a b a+ b

Rozwiązanie (4844358)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a,b$ spełniona jest nierówność

∘ -4----4- ∘ -2----2- 4 a-+--b- ≥ a-+--b-. 2 2

Rozwiązanie (4958018)

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $a,b,c,d$ prawdziwa jest nierówność

√ --- √ --- a+--b+--c+-d- ≥ --ab-+---cd-. 4 2

Rozwiązanie (6086538)

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność $√ -50---- √ -50---- 26 2 + 1+ 2 − 1 < 2$ .

Rozwiązanie (6300958)

Wykaż, że dla dowolnych liczb ujemnych $a,b$ spełniona jest nierówność

∘ -3----3- 3 a--+-b- ≤ a+--b. 2 2

Rozwiązanie (7689297)

Wykaż, że

8 8 8 8 8 8 8 8 √---+ --+ ---√--+ -2-+ ----√---+ --3 + ⋅⋅⋅+ -1007-+ -------√---< 11 . 3 3 3⋅ 3 3 32 ⋅ 3 3 3 3 1007 ⋅ 3

Rozwiązanie (7705704)

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $a,b$ prawdziwa jest nierówność

∘ --- ∘ --- √ -- √ -- a2- b2- a + b ≤ b + a .

Rozwiązanie (8029682)

Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste $a,b,c$ spełniają nierówności $0 < a < b < c$ , to

√3---- √ --- abc > ab.

Rozwiązanie (8281053)

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb dodatnich $a,b$ prawdziwa jest nierówność $∘ -------- a + b a2 + b2 ------< -------. 2 2$
Wykorzystując nierówność z punktu a), wykaż, że prawdziwa jest nierówność $∘ -100---- ∘ -100---- 51 2 − 2+ 2 + 2 < 2 .$

Rozwiązanie (8295787)

Wykaż, że jeżeli $a,b > 0$ to $√ --- --2- ab ≥ 1a+1 b$ .

Rozwiązanie (8630526)

Wykaż, że jeżeli $x,y,z$ są długościami boków trójkąta to $√ 3(x+y +z) ∘ ------------ ----2-----> x 2 + y 2 + z2$ .

Rozwiązanie (9721241)

Udowodnij, że dowolne liczby rzeczywiste $x$ i $m > 0$ spełniają nierówność

∘ ---------- mx 2 + m + 1 ≥ 2x m (m + 1).

Rozwiązanie (9963925)

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a,b,c$ i $d$ prawdziwa jest nierówność

∘ ------- ∘ ------- ac + bd ≤ a2 + b2 ⋅ c2 + d2.

Rozwiązanie (9983578)

Legalni bukmacherzy