Dany jest prostokąt o polu 12, w którym długość przekątnej jest liczbą z przedziału . Wykaż, że obwód tego prostokąta jest liczbą z przedziału
.
/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Prostokąt/Udowodnij
Punkt jest środkiem boku
prostokąta
, w którym
. Punkt
leży na boku
tego prostokąta oraz
. Udowodnij, że
.
Dany jest prostokąt , którego jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego. Na boku
zbudowano trójkąt równoboczny
(zobacz rysunek). Punkt
jest takim punktem odcinka
, że
. Udowodnij, że punkt
jest środkiem odcinka
.
Punkt leży wewnątrz prostokąta
(zob. rysunek). Udowodnij, że
.
Dany jest prostokąt , którego boki mają długości
i
. Punkt
jest punktem przecięcia się przekątnych prostokąta.
- Wykaż, że pole trójkąta
jest cztery razy mniejsze od pola prostokąta
.
- Wiedząc dodatkowo, że
i
, oblicz pole kwadratu, którego bok ma długość
.
W prostokącie, którego krótszy bok ma długość 8 zawarty jest kwadrat o boku równym różnicy
długości boków prostokąta, i którego przekątne są równoległe do boków prostokąta.
- Wyraź pole pozostałe po wycięciu kwadratu z prostokąta jako funkcję dłuższego boku prostokąta. Wyznacz dziedzinę otrzymanej funkcji.
- Wykaż, że różnica pól prostokąta i kwadratu jest zawsze większa od 64.
Punkt leży wewnątrz prostokąta
. Wykaż, że suma pól trójkątów
i
jest równa sumie pól trójkątów
i
.
W prostokąt wpisany jest trójkąt równoboczny
(patrz rysunek). Wierzchołek
leży na boku
(
i
), wierzchołek
leży na boku
(
i
). Udowodnij, że pole powierzchni trójkąta
równe jest sumie pól trójkątów
i
.
Dany jest prostokąt . Okrąg wpisany w trójkąt
jest styczny do przekątnej
w punkcie
. Okrąg wpisany w trójkąt
jest styczny do boku
w punkcie
, a środek
tego okręgu leży na odcinku
, jak na rysunku.
Wykaż, że .
Dany jest prostokąt . Na boku
tego prostokąta wybrano taki punkt
, że
, a na boku
wybrano taki punkt
, że
. Niech
oznacza punkt przecięcia prostej
z prostą
(zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty
i
są przystające.
Dany jest prostokąt . Na boku
tego prostokąta wybrano taki punkt
, że
, a na przedłużeniu boku
wybrano taki punkt
, że
. Niech
oznacza punkt przecięcia prostej
z prostą
(zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty
i
są przystające.
W prostokącie wierzchołek
połączono odcinkami ze środkami
i
boków
i
, zaś
i
to punkty przecięcia tych odcinków z przekątną
.
- Uzasadnij, że odcinki
i
są jednakowej długości.
- Uzasadnij, że trójkąty
i
mają równe pola.

Na bokach i
prostokąta
wybrano punkty
i
w ten sposób, że trójkąt
jest ostrokątny oraz
. Odcinek
jest wysokością trójkąta
.
Wykaż, że .
Na rysunku przedstawiono prostokąt i trójkąt
. Punkty
i
dzielą odcinki
i
na połowy. Uzasadnij, że pole prostokąta
jest równe polu trójkąta
.
Punkt należy do okręgu opisanego na prostokącie
. Wykaż, że
.
Punkt jest środkiem boku
prostokąta
, w którym
. Punkt
jest takim punktem boku
tego prostokąta, że prosta
jest dwusieczną kąta
. Wykaż, że trójkąt
jest prostokątny.
W prostokącie punkt
jest środkiem boku
, a punkt
jest środkiem boku
. Wykaż, że pole trójkąta
jest równe sumie pól trójkątów
oraz
.
W prostokącie punkt
jest środkiem boku
, a punkt
jest środkiem boku
. Wykaż, że pole trójkąta
jest równe sumie pól trójkątów
oraz
.
Przez wierzchołek prostokąta
poprowadzono prostą, która przecięła proste
i
w punktach
i
odpowiednio. Wykaż, że
.
Uzasadnij, że jeżeli prostokąt nie jest kwadratem, to punkty przecięcia dwusiecznych jego kątów wewnętrznych są wierzchołkami kwadratu.