Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o stosunku boków 1:3. Objętość bryły jest równa 12. Oblicz wymiary tego prostopadłościanu, aby jego powierzchnia całkowita była najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą powierzchnię.

Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne o krawędzi bocznej równej 3. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego z tych ostrosłupów, dla którego pole przekroju płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy oraz wierzchołek ostrosłupa jest największe możliwe.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

W metalowym ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o wysokości i krawędzi podstawy wydrążono otwór w kształcie walca, którego oś symetrii pokrywa się z osią symetrii ostrosłupa (patrz rysunek). Otwór wydrążono przez podstawę ostrosłupa w ten sposób, że górna podstawa walca nie wystaje poza powierzchnię ostrosłupa. Jaka może być najmniejsza możliwa objętość otrzymanej w ten sposób bryły?

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o ramionach długości 6. Oblicz cosinus kąta między ramionami tego z tych trójkątów, dla którego objętość bryły powstałej w wyniku obrotu trójkąta dokoła prostej zawierającej jego podstawę jest największa możliwa. Oblicz tę największą objętość.

Romb o boku długości obraca się dokoła jednej z przekątnych. Wyznacz pole tego spośród takich rombów, dla którego objętość otrzymanej bryły jest największa.

Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek).

Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę objętość.

W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisujemy graniastosłupy prawidłowe czworokątne w ten sposób, że dolna podstawa graniastosłupa zawiera się podstawie ostrosłupa, a każdy z wierzchołków górnej podstawy należy do jednej z krawędzi bocznych ostrosłupa. Wiedząc, że każda z krawędzi ostrosłupa ma długość 6, oblicz jaka jest maksymalna możliwa powierzchnia boczna graniastosłupa.

Zakład produkcyjny planuje wytwarzanie pojemników o objętości , które mają kształt otwartego graniastosłupa prawidłowego czworokątnego (bez górnej podstawy – zobacz rysunek).

Koszt produkcji podstawy tego pojemnika wynosi 0,3 zł, a koszt produkcji jego ścian bocznych wynosi 0,2 zł. Ponadto, do kosztu produkcji należy doliczyć niezbędne wzmocnienie krawędzi podstawy w cenie 4,2 zł za 1 dm długości. Oblicz jakie powinny być wymiary tego pojemnika tak, aby koszt jego produkcji był najmniejszy możliwy.

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne , w których odcinek łączący punkt przecięcia przekątnych i podstawy z dowolnym wierzchołkiem podstawy ma długość (zobacz rysunek).

• Wyznacz zależność objętości graniastosłupa od jego wysokości i podaj dziedzinę funkcji .

• Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.