Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
wyraża się wzorem
, gdzie
. Oblicz
wiedząc, że liczby:
w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.
/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny/Różne
Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
wyraża się wzorem
, gdzie
. Oblicz
wiedząc, że liczby:
w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.
Ciąg dany jest wzorem
, dla
.
- Oblicz sumę
.
- Ustalmy
. Dla jakich
liczby
są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?
Dane są dwa ciągi rosnące: arytmetyczny i geometryczny
. Pierwsze wyrazy obu ciągów są równe 2, trzecie ich wyrazy są takie same, a jedenasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy piątemu wyrazowi ciągu geometrycznego. Wyznacz te ciągi zapisując wzory na wyrazy ogólne.
Ciąg , określony dla każdej liczby naturalnej
, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto
i
. Ciąg
, określony dla każdej liczby naturalnej
, jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu
jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu
. Ponadto
. Oblicz
.
Szósty wyraz ciągu arytmetycznego jest o 6 mniejszy od czwartego wyrazu. Wyznacz wzór ogólny na
–ty wyraz ciągu
, wiedząc, że ciąg
jest geometryczny.
Szósty wyraz ciągu arytmetycznego jest o 4 mniejszy od czwartego wyrazu. Wyznacz wzór ogólny na
–ty wyraz ciągu
, wiedząc, że ciąg
jest geometryczny.
Ciąg jest arytmetyczny, a ciąg
jest geometryczny. Pierwszy wyraz
ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego
. Wyrazy ciągu
są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 124. Natomiast pierwszy wyraz
ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego
. Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego
jest równa 18. Wyznacz te ciągi.
Ciąg jest geometryczny, a ciąg
jest arytmetyczny. Pierwszy wyraz
ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego
. Wyrazy ciągu
są liczbami całkowitymi, a suma dwóch początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 28. Natomiast pierwszy wyraz
ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego
. Suma siedmiu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego
jest równa 126. Wyznacz te ciągi.
Liczba jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego
, którego iloraz jest równy
. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego
jest taki sam jak pierwszy wyraz ciągu
. Suma siedmiu początkowych wyrazów ciągu
jest równa sumie siedmiu początkowych wyrazów ciągu
. Oblicz różnicę ciągu arytmetycznego
.
Ciąg , gdzie
, jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym o różnicy 2, w którym pierwszy wyraz jest równy
. Wyznacz wszystkie wartości
, dla których trzywyrazowy ciąg
jest ciągiem geometrycznym.
Ciąg , gdzie
, jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym o różnicy 2, w którym pierwszy wyraz jest równy
. Wyznacz wszystkie wartości
, dla których trzywyrazowy ciąg
jest ciągiem geometrycznym.
W nieskończonym rosnącym ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich, określonym dla
, stosunek średniej geometrycznej trzech pierwszych wyrazów do średniej arytmetycznej tych wyrazów jest równy
, a suma czterech pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa 468. Wyrazy
i
ciągu
, są odpowiednio pierwszym i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego
. Oblicz sumę 10 początkowych wyrazów ciągu
.
Uwaga: średnia geometryczna liczb jest równa
.
W ciągu arytmetycznym wyraz pierwszy jest równy 1, a ostatni . Oblicz sumę wyrazów tego ciągu, jeśli wiadomo że drugi, trzeci i szósty są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym
, dla
.
- Sprawdź, czy ciąg
jest arytmetyczny.
- Oblicz, dla jakiej wartości
liczby
są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
W dziewięciowyrazowym ciągu arytmetycznym, o pierwszym wyrazie równym 4, wyraz pierwszy, trzeci i siódmy tworzą ciąg geometryczny. Oblicz sumę wyrazów tego ciągu arytmetycznego
Obroty pewnej firmy w pierwszych trzech kwartałach 2007 roku utworzyły ciąg geometryczny, a w ciągu ostatnich trzech kwartałów ciąg arytmetyczny. W drugim kwartale obroty firmy wynosiły 15 000 zł, a w czwartym 22 500 zł. Oblicz średnie miesięczne obroty firmy.
Ciąg określony jest wzorem
.
- Trzeci i piąty wyraz ciągu
są odpowiednio równe szóstemu i dziewiętnastemu wyrazowi ciągu arytmetycznego
. Ile początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
należy dodać, aby otrzymana suma była nie mniejsza od 483?
- Piąty oraz trzeci wyraz ciągu
są odpowiednio równe pierwszemu i drugiemu wyrazowi nieskończonego ciągu geometrycznego
. Który wyraz ciągu
jest równy
?
Wyznacz wzór na -ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.
Rosnący ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej
. Suma pierwszych dwunastu wyrazów tego ciągu jest równa 240. Wyrazy
,
,
tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na
–ty wyraz ciągu arytmetycznego
.
Wyznacz wzór na -ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa 40, a wyrazy drugi, piąty i dwudziesty trzeci tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.
Rosnący ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej
. Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa 10. Wyrazy
,
,
tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na
–ty wyraz ciągu arytmetycznego
.
W nieskończonym ciągu arytmetycznym , określonym dla
, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy
ciągu
, w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny
. Oblicz
.
W nieskończonym ciągu arytmetycznym , określonym dla
, suma dziewięciu początkowych wyrazów jest równa 171. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i ósmego wyrazu tego ciągu, jest równa 15. Wyrazy
ciągu
, w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny
. Oblicz
.
Pierwszy, trzeci i trzynasty wyraz ciągu arytmetycznego ,
są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Piąty wyraz ciągu
jest równy 27. Wyznacz wzór ciągu
wiedząc, że nie jest to ciąg stały.
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny , dla
taki, że
. Wyrazy
oraz
tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na
–ty wyraz ciągu
.
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny , dla
taki, że
. Wyrazy
oraz
tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na
–ty wyraz ciągu
.
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 4, a suma sześciu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 84.
- Oblicz sumę pięćdziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.
- Dla jakiego
liczby
tworzą ciąg geometryczny?
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 2, a suma sześciu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 72.
-
Oblicz sumę pięćdziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.
-
Dla jakiego
liczby
tworzą ciąg geometryczny?
Dany jest ciąg arytmetyczny o różnicy
i pierwszym wyrazie
. Pierwszy, drugi i czwarty wyraz tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego.
Oblicz miary kątów trójkąta, w którym długości boków tworzą ciąg geometryczny, a miary kątów tworzą ciąg arytmetyczny.